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Guten Tag, ich rechne gerade Altklausuren durch und komme hier nicht mehr weiter.

Generell finde ich Volumenintegrale sehr verwirrend also falls jemand einen Link zu einer guten Erklärung oder so hat wäre das natürlich auch super!


Berechnen Sie das Volumenintegral

∭exp(-(sqrt(x^2+y^2+z^2)))dxdydz
G

Mit G ={(x,y,z)^T ∈ R^3 | 0≤z, x^2+y^2+z^2 ≤1}


Danke

Nele xx

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Die Punkte der Menge$$G=\{(x;y;z)^T\in\mathbb R^3\,\big|\,x^2+y^2+z^2\le1\;\pink{\land\;z\ge0}\}$$liegen alle innerhalb einer Kugel mit Radius \(1\) oder auf deren Oberfläche. Der Mittelpunkt dieser Kugel liegt im Koordinatenursprung. Über diese Kugel soll nun das Integral$$I=\iiint\limits_Ge^{-\sqrt{x^2+y^2+z^2}}\,dV$$berechnet werden. Dazu brauchen wir einen Ortsvektor \(\vec r\), der vom Urpsrung ausgehend alle Punkte der Menge \(G\) abtastet. Wegen der Kugelsymmetrie des Problems stellen wir diesen Ortsvektor in Kugelkoordinaten dar:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\varphi\sin\vartheta\\r\sin\varphi\sin\vartheta\\r\cos\vartheta\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;1]\quad;\quad\varphi\in[0;2\pi]\quad;\quad\vartheta\in\left[0;\pink{\frac\pi2}\right]$$

Wegen \((x^2+y^2+z^2=r^2)\) wird der Integrand zu \(e^{-\sqrt{r^2}}=e^{-r}\).

Das Volumenelemnt in Kugelkoordinaten lautet: \(dV=dx\,dy\,dz=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\).

Damit können wir das gesuchte Integral formulieren:$$I=\int\limits_{r=0}^1\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\;\int\limits_{\vartheta=0}^{\pink{\pi/2}} e^{-r}\,r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta=\int\limits_{r=0}^1r^2e^{-r}\,dr\cdot\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\cdot\int\limits_{\vartheta=0}^{\pink{\pi/2}}\sin\vartheta\,d\vartheta$$

Die drei Integrale kannst du wie gewohnt berechnen:$$I_1=\int\limits_0^1\underbrace{r^2}_{=u}\cdot\underbrace{e^{-r}}_{=v'}\,dr=\left[\underbrace{r^2}_{=u}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=v}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{2r}_{=u'}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=v}\,dr=-e^{-1}+\int\limits_0^1\underbrace{2r}_{=f}\cdot\underbrace{e^{-r}}_{=g'}\,dr$$$$\phantom{I_1}=-\frac1e+\left[\underbrace{2r}_{=f}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=g}\right]_0^1-\int\limits_0^1\underbrace{2}_{=f'}\cdot\underbrace{(-e^{-r})}_{=g}\,dr=-\frac1e-2e^{-1}+\int\limits_0^12e^{-r}\,dr$$$$\phantom{I_1}=-\frac1e-\frac2e+\left[-2e^{-r}\right]_0^1=-\frac3e-\frac2e+2=2-\frac5e$$$$I_2=\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi=\left[\varphi\right]_0^{2\pi}=2\pi$$$$I_3=\int\limits_{\vartheta=0}^{\pink{\pi/2}}\sin\vartheta\,d\vartheta=\left[-\cos\vartheta\right]_0^{\frac\pi2}=\pink0-(-1)=\pink1$$

Damit erhalten wir als Ergebnis:$$I=\pink2\pi\left(2-\frac5e\right)$$

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ahhh!!! ich glaube ich verstehe es! danke!!!

Ich glaube, Ihr habt die Bedingung z>=0 übersehen?

Oh ja, danke dir Mathhilf !!!

Die Bedingung \(z\ge0\) ist mir durchgegangen.

@nele:

Das heißt, dass der Winkel \(\vartheta\in[0;\frac\pi2]\) liegt. Die obere Grenze es \(d\vartheta\)-Integrals ist daher nicht \(\pi\), sondern \(\frac\pi2\).

Ich korrigiere das in pink.

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Hallo

fast immer, wenn du f( x^2+y^2+z^2) hast und dann noch ein Gebietm as auch so aussiiht, nimmt man Kugelkoordinaten. weisst du wie das Volumenelement dann aussieht? sonst Funktionaldet, oder in wiki unter Kugelkoordinaten.

Und was ist so verwirrend an volumenintegralen? stell dir die funktion als Massendichte vor, dann bestimmst du die Gesamtmasse in dem Gebiet.

Gruß lul

Avatar von 106 k 🚀

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