Sattelpunkte und Extremstellen

Question

Geben Sie die lokalen Extremstellen und Sattelpunkte der folgenden Funktion an:

f (x,y) = 1/3*x^2 - 5/6*x + 147*y^(-1) + 12*y +75

Danke für Eure Hilfe!

Answer 1

Beispiel:

https://www.google.de/search?q=extremstellen+und+sattelpunkte+funktion+mit+2+variablen&sca_esv=588067978&source=hp&ei=6FlvZYjyMP3Wxc8PmemSiAI&iflsig=AO6bgOgAAAAAZW9n-BMO4wrrqDeqMdCGdbx_ZC2rULkb&oq=Extremstellen+und+Sattelpunkte+funktion+mit+2&gs_lp=Egdnd3Mtd2l6Ii1FeHRyZW1zdGVsbGVuIHVuZCBTYXR0ZWxwdW5rdGUgZnVua3Rpb24gbWl0IDIqAggAMgUQIRigATIFECEYoAFIn2ZQqgtYpVZwAngAkAEAmAGLAqABqxOqAQYwLjE0LjK4AQHIAQD4AQL4AQGoAgrCAhAQABgDGI8BGOUCGOoCGIwDwgIQEC4YAxiPARjlAhjqAhiMA8ICBxAhGKABGAo&sclient=gws-wiz#fpstate=ive&vld=cid:63520b24,vid:lwcwcRzyD04,st:0

Answer 2

Hallo,

Bitte Klammern setzen

falls die Aufgabe so lautet: f(x,y)=\( \frac{1}{3} x^{2}-\frac{5}{6} x+\frac{147}{y}+12 y+75 \)

1. Gradient bilden:

fx=(2(3) x -5/6

fy= -\( \frac{147}{y^2} \) +12

\( \operatorname{grad}(f)=\left(\begin{array}{c}f x \\ fy\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\frac{2}{3} x-\frac{5}{6} \\ -\frac{147}{y^{2}}+12\end{array}\right) \)

2.Gradient 0 setzen:

(2/3)x -5/6=0 ->x= 5/4

(-147)/y^2 +12=0 -->y_1,2= ± 7/2

->

P₁(5/4, -7/2)

P₂(5/4 ,7/2)

3. Hesse Matrix:

fxx=2/3

fyy= 294/y^3

fxy=fyx= 0

\( \begin{array}{l}H f(x, y)=\left(\begin{array}{cc}f x x & f x y \\ f y x & f y y\end{array}\right) \\ H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & \frac{294}{y^3}\end{array}\right)\end{array} \)

 4.Eigenwerte bestimmen:

Hf(5/4 ,-7/2) =0 -->Eigenwerte sind -48/7 und 2/3

Hf(5/4 ,7/2) =0 -->Eigenwerte sind 2/3 und 48/7

Sattelpunkt: positiver und negativer Eigenwert

Minimum: alle Eigenwerte sind positiv

5.Ergebnis:

\( \left(\frac{5}{4},-\frac{7}{2}\right) \quad \) (saddle point) \( \left(\frac{5}{4}, \frac{7}{2}\right) \quad \) (minimum)