Berechnen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion f : R3 → R

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die lokalen Extremstellen der Funktion $$f : \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$$
definiert durch

$$f(x,y,z) := e^x \left( x^2+y^2 + z^2 + \frac{3}{4} \right)$$

Answer 1

Aloha :)

Kandidaten für Extremwerte sind die Nullstellen des Gradienten:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\begin{pmatrix}e^x\left(x^2+y^2+z^2+\frac34\right)+2xe^x\\2ye^x\\2ze^x\end{pmatrix}\stackrel!=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$$Da die $e^x>0$ für alle $x\in\mathbb R$ gilt, muss $y=0$ und $z=0$ gelten.

Für die erste Komponente muss dann gelten:$$\small0=e^x\left(x^2+\frac34\right)+2xe^x=e^x\left(x^2+2x+\frac34\right)=e^x\left((x^2+2x+1)-\frac14\right)$$$$\small\phantom 0=e^x\left((x+1)^2-\frac14\right)=e^x\left((x+1)+\frac12\right)\left((x+1)-\frac12\right)=e^x\left(x+\frac32\right)\left(x+\frac12\right)$$Das liefert $(x=-\frac32)$ oder $(x=-\frac12)$. Die Funktion hat also 2 kritische Punkte:$$P_1\left(-\frac12\bigg|0\bigg|0\right)\quad;\quad P_2\left(-\frac32\bigg|0\bigg|0\right)$$

Zur Prüfung der beiden Kandidaten werten wir die Hesse-Matrix:$$H(x;y;z)=\begin{pmatrix}e^x\left(x^2+y^2+z^2+\frac34\right)+4xe^x+2e^x & 2ye^x & 2ze^z\\2ye^x & 2e^x & 0\\2ze^x & 0 & 2e^x\end{pmatrix}$$für beide Kandidaten aus:$$H\left(-\frac12;0;0\right)=\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt e} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{\sqrt e} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{\sqrt e}\end{pmatrix}\quad;\quad H\left(-\frac32;0;0\right)=\begin{pmatrix}-\frac{1}{e\sqrt e} & 0 & 0\\0 & \frac{2}{e\sqrt e} & 0\\0 & 0 & \frac{2}{e\sqrt e}\end{pmatrix}$$

Bei der zweiten Matrix tauchen auf der Hauptdiagonalen unterschiedliche Vorzeichen auf, daher ist die Matrix indefinit und an der Stelle $P_2$ liegt kein Extremum vor.

Die erste Hesse-Matrix ist eine Diagonalmatrix, daher stehen die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen. Da alle Eigenwerte positiv sind, ist die Matrix positiv definit und bei $P_1$ liegt ein Minimum vor.