Es sei {v1, v2} eine Basis eines 2-dimensionalen ℝ -Vektorraums V.

Question

Aufgabe:

Es sei {v₁, v₂} eine Basis eines 2-dimensionalen ℝ -Vektorraums V.

Untersuchen Sie, für welche Zahlen r, s ∈ R auch die beiden Vektoren

w₁ = rv₁ + v₂
und

w₂ = v₁ + sv₂

eine Basis von V bilden.

Problem/Ansatz:

Wie geht man hier vor?

Answer 1

Aloha :)

Wir kennen die Darstellung der Vektoren aus \(W\) bezüglich der Basis \(V\):$$\vec w_1=r\vec v_1+\vec v_2=\binom{r}{1}_V\quad;\quad\vec w_2=\vec v_1+s\vec v_2=\binom{1}{s}_V$$Damit kennen wir die Transformationsmatrix von \(W\) nach \(V\):$$T_{V\leftarrow W}=\begin{pmatrix}r & 1\\1 & s\end{pmatrix}$$Wenn \(W\) auch eine Basis des \(\mathbb R^2\) ist, kann man diese Transformation umkehren, d.h. die Matrix invertieren. Da eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante ungleich Nul ist, heißt das:$$\operatorname{det}\left(T_{V\leftarrow W}\right)\ne0\Longleftrightarrow r\cdot s-1\ne 0\Longleftrightarrow \pink{r\cdot s\ne 1}$$

Für alle Fälle mit \(r\cdot s\ne1\) ist \(W\) ebenfalls eine Basis des \(\mathbb R^2\).

Answer 2

Diese bilden ja nur nicht eine Basis, wenn sie linear abhängig sind. . Das heißt diese 2 Vektoren w_1 und w_2 bilden genau dann eine Basis wenn sie nicht linear abhängig sind d.h sie sind nicht ein Vielfaches des anderen.