Question

 Sei v₁, . . . , v_n ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V. Beweisen Sie: v₁, . . . , v_n ist genau dann eine Basis von V , wenn sich mindestens ein Vektor w ∈ V eindeutig in der Form

w = ∑_i=1ⁿ λ_iv_i  (Summe von i=1 bis n) darstellen lässt.

Ich liege zur Zeit leider mit Grippe flach, und deshalb ist mein Kopf quasi ganz wo anders als in der Materie.

Könnte mir daher bitte jemand die Lösung für die Aufgabe formell sagen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Sei v1, . . . , vn ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V .

Stichworte: erzeugendensystem,vektorraum

Kann mir hier bitte jemand helfen bei Aufgabe 3?

einmal Hin- und einmal Rückrichtung. Bei der Hinrichtung nehmt ihr also zusätzlich noch an, dass die gegebenen Vektoren linear unabhängig sind und sollt dann beweisen, dass für einen Vektor eine eindeutige Linearkombination existiert. Eindeutigkeitsbeweise führt man immer über einen Widerspruchsbeweis, d.h. ihr nehmt an, dass die Linearkombination nicht eindeutig ist, d.h. dass es mindestens zwei geben muss und führt diese Aussage dann auf einen Widerspruch. Bei der Rückrichtung müsst ihr nur noch die lineare Unabhängigkeit nachweise, d.h. die Definition dessen

Das habe ich bisher als Hinweis raus gefunden. Aber ich weiß nicht, wie ich das jetzt aufschreiben soll

Answer 1

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist genau dann eine Basis von V,

wenn es lin. unabh. ist.

Angenommen, es ist NICHT lin. unabh., genau dann gibt es eine Darstellung des

Nullvektors mit mindestens einem x_i ungleich 0:       0-Vektor =  ∑_i=1ⁿ x_iv_i   

Dann gilt für alle w∈V      w = ∑i=1n λivi  #

==>                      w =   w+0-Vektor =  ∑i=1n λivi  +  ∑i=1n xivi

                                                   also  w =  ∑i=1n (xi+ λi)vi   ##

Und die Darstellungen # und ## sind verschieden, da mindestens ein xi ungleich 0 ist.

Also: Wenn es ein w mit einer eindeutigen Darstellung gibt, sind die

vi    ein linear unabhängigs Erz.system  und bilden somit eine Basis

Answer 2

zu 3.

Ein Erzeugendensystem eines Vektorraums V ist genau dann eine Basis von V,

wenn es lin. unabh. ist.

Angenommen, es ist NICHT lin. unabh., genau dann gibt es eine Darstellung des

Nullvektors mit mindestens einem xi ungleich 0:       0-Vektor =  ∑i=1n xivi   

Dann gilt für alle w∈V      w = ∑i=1n λivi  #

==>                      w =   w+0-Vektor =  ∑i=1n λivi  +  ∑i=1n xivi

                                                   also  w =  ∑i=1n (xi+ λi)vi   ##

Und die Darstellungen # und ## sind verschieden, da mindestens ein xi ungleich 0 ist.

Also: Wenn es ein w mit einer eindeutigen Darstellung gibt, sind die

vi    ein linear unabhängiges Erz.system  und bilden somit eine Basis.