Der Aufgabenstellung nach müsste also die WK, dass ein Element in Ebene i auch in Ebene i+1 ist, also \( p = \frac{1}{2} \) sein, oder?
Wenn ein Element in Ebene i ist, setzt das voraus, dass es auch in Ebene i-1, i-2, ..., 0 ist (Ebene 0 ist klar). Also im Prinzip wird für jedes Element wiederholt eine Münze mit WK \( p = \frac{1}{2} \) geworfen, bis ein "Erfolg" eintritt. Die beschriebene Situation lässt sich mit einem wiederholten Bernoulli-Experiment darstellen und gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei h_max Würfen noch kein Erfolg auftritt (also h_max Misserfolge).
\( P(X < 1) = P(X=0) = \frac{1}{2}^{h_{max}} \). Da \(h_{max}\) nach Aufgabenstellung von unten beschränkt ist und \( \frac{1}{2}^k \) mit wachsendem \(k\) kleiner wird, erhalten wir also durch Einsetzen der unteren Schranke \( P(X=0) \leq \frac{1}{2}^{\log_2{n}} = \frac{1}{n} \). Im letzten Schritt muss man nur die Definition vom Logarithmus zur Basis 2 verwenden, und die Formel \( a^b = e^{b \cdot \ln{a}} \), dann folgt die Gleichheit.
Edit: vorher einen Fehler gemacht. Außerdem vielleicht noch der Hinweis, dass \( \log_2(n) = \frac{\ln(n)}{\ln(2)}\) ist.
