Wie beweise ich die Rechenregeln für Netze?

Question

Hallo, kann mir bitte jemand helfen und sagen wie ich den Beweis mache für die Rechenregeln von Netzen:

Ich wär echt sehr dankbar für die Erklärung!

Text erkannt:

3. Weisen Sie folgende Rechenregeln für konvergente Netze nach.
Für zwei konvergente Netze $\left(z_{i}\right)_{i \in I}$ und $\left(w_{i}\right)_{i \in I}$ über derselben gerichteten Menge $(I, \preceq)$ aus $\mathbb{R}$ oder aus $\mathbb{C}$ gilt
$\lim \limits_{i \in I}\left(z_{i}+w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right)+\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \lim \limits_{i \in I}\left|z_{i}\right|=\left|\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right| .$

Answer 1

Hallo,

Zu zeigen ist also:

$\begin{array}{c}\lim \limits_{i \in I}\left(z_{i}+w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right)+\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \lim \limits_{i \in I}\left(z_{i} \cdot w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right) \cdot\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \\ \lim \limits_{i \in I}-z_{i}=-\lim \limits_{i \in I} z_{i}, \lim \limits_{i \in I}\left|z_{i}\right|=\left|\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right| .\end{array}$

Sei $\epsilon>0$ ohne Beschränkung der Allgemeinheit derartig, dass auch $\epsilon \leq 1$. Seien $i_{1}, i_{2}$ so groß, dass $i \geq i_{1} \Rightarrow\left|z_{i}-z\right|<\epsilon$ und $i \geq i_{2} \Rightarrow\left|w_{i}-w\right|<\epsilon$. Insbesondere gilt für solche $i$ auch $\left|w_{i}\right| \leq|w|+\epsilon \leq|w|+1$. Gemäß 1. gibt es ein $i_{0} \geq i_{1}, i_{2}$, womit für $i \geq i_{0}$ folgt
$\begin{array}{c} \left|z_{i} w_{i}-z w\right|=\left|\left(z_{i}-z\right) w_{i}+z\left(w_{i}-w\right)\right| \leq\left|z_{i}-z\right| \cdot\left|w_{i}\right|+|z| \cdot\left|w_{i}-w\right| \\ <\epsilon\left|w_{i}\right|+|z| \epsilon \leq(|w|+1+|z|) \epsilon . \end{array}$
Daraus folgt dann schließlich $\lim \limits_{i \in I} z_{i} w_{i}=z w$.

1. Sei $I$ eine nicht leere Menge, und sei $\preceq$ eine Relation auf $I$. Dann heißt $(I, \preceq)$ eine gerichtete Menge, wenn $\preceq$ folgender drei Bedingungen genügt.
- Reflexivität:
$\forall i \in I: i \preceq i \text {. }$
- Transitivität:
$\forall i, j, k \in I: i \preceq j \wedge j \leq k \Rightarrow i \preceq k .$
- Richtungseigenschaft:
$\forall i, j \in I \exists k \in I: i \preceq k \wedge j \preceq k$