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Hallo, kann mir bitte jemand helfen und sagen wie ich den Beweis mache für die Rechenregeln von Netzen:

Ich wär echt sehr dankbar für die Erklärung!Screenshot 2023-12-16 133141.png

Text erkannt:

3. Weisen Sie folgende Rechenregeln für konvergente Netze nach.
Für zwei konvergente Netze (zi)iI \left(z_{i}\right)_{i \in I} und (wi)iI \left(w_{i}\right)_{i \in I} über derselben gerichteten Menge (I,) (I, \preceq) aus R \mathbb{R} oder aus C \mathbb{C} gilt
limiI(zi+wi)=(limiIzi)+(limiIwi),limiIzi=limiIzi. \lim \limits_{i \in I}\left(z_{i}+w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right)+\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \lim \limits_{i \in I}\left|z_{i}\right|=\left|\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right| .

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Hallo,

Zu zeigen ist also:

limiI(zi+wi)=(limiIzi)+(limiIwi),limiI(ziwi)=(limiIzi)(limiIwi),limiIzi=limiIzi,limiIzi=limiIzi. \begin{array}{c}\lim \limits_{i \in I}\left(z_{i}+w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right)+\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \lim \limits_{i \in I}\left(z_{i} \cdot w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right) \cdot\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \\ \lim \limits_{i \in I}-z_{i}=-\lim \limits_{i \in I} z_{i}, \lim \limits_{i \in I}\left|z_{i}\right|=\left|\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right| .\end{array}

Sei ϵ>0 \epsilon>0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit derartig, dass auch ϵ1 \epsilon \leq 1 . Seien i1,i2 i_{1}, i_{2} so groß, dass ii1ziz<ϵ i \geq i_{1} \Rightarrow\left|z_{i}-z\right|<\epsilon und ii2wiw<ϵ i \geq i_{2} \Rightarrow\left|w_{i}-w\right|<\epsilon . Insbesondere gilt für solche i i auch wiw+ϵw+1 \left|w_{i}\right| \leq|w|+\epsilon \leq|w|+1 . Gemäß 1. gibt es ein i0i1,i2 i_{0} \geq i_{1}, i_{2} , womit für ii0 i \geq i_{0} folgt
ziwizw=(ziz)wi+z(wiw)zizwi+zwiw<ϵwi+zϵ(w+1+z)ϵ. \begin{array}{c} \left|z_{i} w_{i}-z w\right|=\left|\left(z_{i}-z\right) w_{i}+z\left(w_{i}-w\right)\right| \leq\left|z_{i}-z\right| \cdot\left|w_{i}\right|+|z| \cdot\left|w_{i}-w\right| \\ <\epsilon\left|w_{i}\right|+|z| \epsilon \leq(|w|+1+|z|) \epsilon . \end{array}
Daraus folgt dann schließlich limiIziwi=zw \lim \limits_{i \in I} z_{i} w_{i}=z w .


1. Sei I I eine nicht leere Menge, und sei \preceq eine Relation auf I I . Dann heißt (I,) (I, \preceq) eine gerichtete Menge, wenn \preceq folgender drei Bedingungen genügt.
- Reflexivität:
iI : ii \forall i \in I: i \preceq i \text {. }
- Transitivität:
i,j,kI : ijjkik. \forall i, j, k \in I: i \preceq j \wedge j \leq k \Rightarrow i \preceq k .
- Richtungseigenschaft:
i,jIkI : ikjk \forall i, j \in I \exists k \in I: i \preceq k \wedge j \preceq k


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