Hallo,
Zu zeigen ist also:
i∈Ilim(zi+wi)=(i∈Ilimzi)+(i∈Ilimwi),i∈Ilim(zi⋅wi)=(i∈Ilimzi)⋅(i∈Ilimwi),i∈Ilim−zi=−i∈Ilimzi,i∈Ilim∣zi∣=∣∣∣∣∣i∈Ilimzi∣∣∣∣∣.
Sei ϵ>0 ohne Beschränkung der Allgemeinheit derartig, dass auch ϵ≤1. Seien i1,i2 so groß, dass i≥i1⇒∣zi−z∣<ϵ und i≥i2⇒∣wi−w∣<ϵ. Insbesondere gilt für solche i auch ∣wi∣≤∣w∣+ϵ≤∣w∣+1. Gemäß 1. gibt es ein i0≥i1,i2, womit für i≥i0 folgt
∣ziwi−zw∣=∣(zi−z)wi+z(wi−w)∣≤∣zi−z∣⋅∣wi∣+∣z∣⋅∣wi−w∣<ϵ∣wi∣+∣z∣ϵ≤(∣w∣+1+∣z∣)ϵ.
Daraus folgt dann schließlich i∈Ilimziwi=zw.
1. Sei I eine nicht leere Menge, und sei ⪯ eine Relation auf I. Dann heißt (I,⪯) eine gerichtete Menge, wenn ⪯ folgender drei Bedingungen genügt.
- Reflexivität:
∀i∈I : i⪯i.
- Transitivität:
∀i,j,k∈I : i⪯j∧j≤k⇒i⪯k.
- Richtungseigenschaft:
∀i,j∈I∃k∈I : i⪯k∧j⪯k