Hallo,
Zu zeigen ist also:
\( \begin{array}{c}\lim \limits_{i \in I}\left(z_{i}+w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right)+\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \lim \limits_{i \in I}\left(z_{i} \cdot w_{i}\right)=\left(\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right) \cdot\left(\lim \limits_{i \in I} w_{i}\right), \\ \lim \limits_{i \in I}-z_{i}=-\lim \limits_{i \in I} z_{i}, \lim \limits_{i \in I}\left|z_{i}\right|=\left|\lim \limits_{i \in I} z_{i}\right| .\end{array} \)
Sei \( \epsilon>0 \) ohne Beschränkung der Allgemeinheit derartig, dass auch \( \epsilon \leq 1 \). Seien \( i_{1}, i_{2} \) so groß, dass \( i \geq i_{1} \Rightarrow\left|z_{i}-z\right|<\epsilon \) und \( i \geq i_{2} \Rightarrow\left|w_{i}-w\right|<\epsilon \). Insbesondere gilt für solche \( i \) auch \( \left|w_{i}\right| \leq|w|+\epsilon \leq|w|+1 \). Gemäß 1. gibt es ein \( i_{0} \geq i_{1}, i_{2} \), womit für \( i \geq i_{0} \) folgt
\( \begin{array}{c} \left|z_{i} w_{i}-z w\right|=\left|\left(z_{i}-z\right) w_{i}+z\left(w_{i}-w\right)\right| \leq\left|z_{i}-z\right| \cdot\left|w_{i}\right|+|z| \cdot\left|w_{i}-w\right| \\ <\epsilon\left|w_{i}\right|+|z| \epsilon \leq(|w|+1+|z|) \epsilon . \end{array} \)
Daraus folgt dann schließlich \( \lim \limits_{i \in I} z_{i} w_{i}=z w \).
1. Sei \( I \) eine nicht leere Menge, und sei \( \preceq \) eine Relation auf \( I \). Dann heißt \( (I, \preceq) \) eine gerichtete Menge, wenn \( \preceq \) folgender drei Bedingungen genügt.
- Reflexivität:
\( \forall i \in I: i \preceq i \text {. } \)
- Transitivität:
\( \forall i, j, k \in I: i \preceq j \wedge j \leq k \Rightarrow i \preceq k . \)
- Richtungseigenschaft:
\( \forall i, j \in I \exists k \in I: i \preceq k \wedge j \preceq k \)
