Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen der drei Gläser.

Question

Aufgabe: Die drei abgebildeten Sektgläser lassen sich als Rotationskörper der Funktionen f, g und h auffassen mit f(x) = √(4/3)x, g(x) =(1/3)× und h(x) = (1/36)x². Alle Gläser sind ohne Stiel und Fuß 12 cm hoch und haben am oberen Rand einen Durchmesser von 8 cm.
a) Berechnen Sie das maximale Fassungsvermögen der drei Gläser.
b) Berechnen Sie für jedes Glas das Volumen bei halber Füllhöhe.
c) Berechnen Sie für jedes Glas die Füllhöhe, wenn sie mit dem halben Maximalvolumen gefüllt sind.
d) Ermitteln Sie, bis zu welcher Höhe Glas 1 gefüllt werden muss, damit 80 cm3 Flüssigkeit enthalten sind.
e) Bei einem Fest werden Gläser der Form 1 mit einem Orangensaft-Sekt-Mix gefüllt. Bei Variante A werden erst 3 cm Orangensaft und anschließend 3 cm Sekt eingefüllt. Bei Variante B ist es umgekehrt. Bestimmen Sie für beide Varianten den Sektanteil und geben Sie das Mischungsverhältnis an.

Problem/Ansatz:

Da das (Unter-) Thema (Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung) für mich neu ist, habe ich so gut wie kaum einen Ansatz, mit welchem ich diese Aufgabe lösen kann. Ich habe sie versucht zu lösen, bin mir allerdings nicht wirklich sicher und würde meine Lösungen gerne überprüfen wollen.

Text erkannt:

Glas 1
Glas 2
Glas 3

Answer 1

a)

Hier mal das Rotationsintegral von Glas 1

V = pi·∫ (0 bis 12) (√(4/3·x)^2) dx = 96·pi = 301.6 cm³

Solltest du beim Integrieren Probleme haben, kann ein Integralrechner wie http://www.integralrechner.de/ behilflich sein.

Ansonsten stell mal deine Lösungen online. Dann wird das bestimmt jemand kommentieren.

Comments

bei Aufgabe a) hatte ich eher weniger Probleme. Ich kann nur nicht nachvollziehen was  in den weiteren Aufgaben gemacht werden muss und was die Lösungen dazu sind.

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Du meinst du kommst damit nicht klar bei b) statt der Höhe von 12 einfach 6 zu nehmen?

b)

$$\int \limits_{0}^{6} \pi \sqrt{\frac{4 x}{3}}^{2} d x=24 \pi \approx 75.398$$

c)

$$\int \limits_{0}^{h} \pi \sqrt{\frac{4}{3} x}^{2} d x=\frac{1}{2} \times 96 \pi$$

$$h=6 \sqrt{2}$$

d)

$$\int \limits_{0}^{h} \pi \sqrt{\frac{4}{3} x}^{2} d x=80$$

$$h=2 \sqrt{\frac{30}{\pi}}$$

e)

$$\int \limits_{0}^{3} \pi \sqrt{\frac{4 x}{3}}^{2} d x=6 \pi \approx 18.850$$

$$\int \limits_{3}^{6} \pi \sqrt{\frac{4 x}{3}}^{2} d x=18 \pi \approx 56.549$$

Anteil des zuerst eingefüllten Getränkes: 6/(6 + 18) = 6/24 = 1/4

Mischungsverhältnis: 6:18 = 1:3