Potenz mit Matrix als Exponent

Question

Aufgabe:

(ii) Berechnen Sie

\( \exp \left(\left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{array}\right)\right) \)

Problem/Ansatz:

Wie berechnet man die ii.)?

Comments

Du fragst nach ii)? Heißt das, Du hast i) gelöst? Wie hast Du ein Fundamentalsystem bestimmt?

Hilft Dir eigentlich die Lösung auf Deine andere Frage oder habt Ihr die Technik ganz anders besprochen? Wenn ja, wie?

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einfach Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmt und durch diese ein Fundamentalsystem bestimmt.

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Ok. Tr hat die Aufgabe ja schon auf diesem Weg gelöst.

Answer 1

Vergleiche dazu deine andere Frage. Die Idee dahinter ist doch genau dieselbe.

Answer 2

Aloha :)

Zeige, dass für \(\mathbf A=\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\) und \(n\in\mathbb N\) gilt: \(\mathbf A^n=2^{n-1}\cdot\mathbf A\).

Das kann man z.B. mit vollständiger Induktion tun. Die Verankerung bei \(n=1\) ist durch Einsetzen sofort klar. Im Induktionsschritt von \(n\) auf \((n+1)\) gilt:$$\mathbf A^{n+1}=\mathbf A^n\cdot\mathbf A=2^{n-1}\cdot\mathbf A\cdot\mathbf A=2^{n-1}\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)$$$$\phantom{\mathbf A^{n+1}}=2^{n-1}\left(\begin{array}{rr}2 & -2\\-2 & 2\end{array}\right)=2^{n-1}\cdot2\left(\begin{array}{rr}1 & -1\\-1 & 1\end{array}\right)=2^n\cdot\mathbf A=2^{(n+1)-1}\cdot\mathbf A\quad\checkmark$$

Dann verwendest du die Potenzreihenform der Exponentialfunktion und setzt \(x=\mathbf A\) ein:$$e^{\mathbf A}=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{{\mathbf A}^n}{n!}=\mathbf E+\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^{n-1}}{n!}\mathbf A=\mathbf E+\left(\frac12\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{2^n}{n!}\right)\mathbf A=\mathbf E+\frac12\left(\sum\limits_{n=\pink0}^\infty\frac{2^n}{n!}\pink{-\frac{2^0}{0!}}\right)\mathbf A$$$$\phantom{e^{\mathbf A}}=\mathbf E+\frac12\left(e^2-1\right)\mathbf A=\mathbf E+\frac{e^2-1}{2}\mathbf A=\left(\begin{array}{rr}\frac{e^2+1}{2} & \frac{1-e^2}{2}\\[1ex]\frac{1-e^2}{2} & \frac{e^2+1}{2}\end{array}\right)$$

Answer 3

Die gegebene Matrix ist diagonalisierbar (da symmetrisch).

Eigenwerte und Eigenvektoren sind schnell bestimmt:

\(\lambda_1 =2,\; v_1= \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \) und \(\lambda_2 =0,\; v_2= \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \).

Die Eigenvektoren sind orthogonal. Durch Normierung erhalten wir die orthogonale Transformationsmatrix

\( T = \frac 1{\sqrt 2}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \Rightarrow T^{-1} = T^t\)

Damit haben wir

\(T^{-1}AT = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Also:

\(e^A = T\begin{pmatrix} e^2 & 0 \\ 0 & e^0 \end{pmatrix}T^{-1} = \frac 12\begin{pmatrix} 1+e^2 & 1-e^2 \\ 1-e^2 & 1+e^2 \end{pmatrix}\)

Comments

wie kommst du auf das letzte Ergebnis. Verstehe die letzten zwei Schritte nicht

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1. Diagonalisierbarkeit von Matrizen.

2. Man kann zeigen, dass \(\mathrm{e}^{TDT^{-1}}=T\mathrm{e}^DT^{-1}\) ist und das Matrixexponential einer Diagonalmatrix bekommt man, indem man die entsprechenden Diagonaleinträge als Exponentialterm schreibt. Solche Resultate sollten in der Vorlesung gewesen sein. Bitte nachschlagen.

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Von wo kommt die 1/2 am schluss

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@Rudstar

Die Matrix T hat \( \frac 1{\sqrt 2   }  \) als Faktor.

Wir wäre es, wenn du mal Zettel und Stift in die Hand nimmst und mitrechnest?

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Achso die Wurzel verschwindet einfach so? Ah habs jetzt...