Umformung von Sinus und Cosinus mittels Additionstheormen

Question

Hey, es geht um eine Umformung mit Additionstheoremen:

Zeigen Sie, dass für $$n\in\mathbb{N}$$ und $$x,y\in\mathbb{R},$$ wobei y kein ganzzahliges Vielfaches von 2π ist, die folgende Gleichung gilt:

 $$\sum \limits_{k=0}^{n}sin(x+k*y) = \frac{sin(x+\frac{n}{2}y)*sin(\frac{n+1}{2}y)}{sin(\frac{y}{2})}$$

Was habe ich bisher gemacht? Mittels Additionstheoremen habe ich die rechte Seite umgeformt und zwischendurch $$sin(\frac{y}{2})$$ herausgekürzt.

Ich bin hierauf gekommen: $$2n^{2}cos(\frac{y}{2})sin(x+\frac{y}{2})$$

Die 2 kann ich noch hereinziehen. Ich dachte auch an eine Art Substitution mit $$k=n^{2},$$ sodass ich vielleicht auf die gewünschte Form komme (linke Seite). Ich habe gehofft, dass ich meinen umgeformten Term in eine Art Summe bringen kann. Nun weiß ich erst einmal nicht weiter. Hat noch jemand eine Idee oder bin ich auf dem Holzweg?

Beste Grüße:)

Comments

Benutze vollständige Induktion.

Answer 1

Es gibt da einen Trick, der auf folgender trigonometrischer Formel beruht:

$\cos(a-b) - \cos(a+b) = 2\sin a \sin b \quad (1)$

Jetzt bringst du $\sin \frac y2$ auf die linke Seite und atmest tief durch:

$\displaystyle \sin \frac y2 \sum_{k=0}^n\sin (x+ky)$

$\displaystyle \stackrel{(1)}{=}\frac 12\sum_{k=0}^n(\cos(x+(k-\frac 12)y) - \cos(x+(k+\frac 12)y)) = \ldots$

Das ist aber eine Teleskopsumme und es bleibt übrig

$\displaystyle \ldots = \frac 12 ( \cos(x-\frac 12 y) - \cos(x+(n+\frac 12)y)) =\ldots$

Jetzt wenden wir wieder (1) an - aber von links nach rechts - setze dazu

$a-b = x-\frac 12 y$ und $a+b = x+(n+\frac 12)y$

und bestimme $a,b$:

$\displaystyle \ldots = \sin(x+\frac n2 y)\sin(\frac{n+1}2 y)$

Damit sind wir fertig.

Comments

Vielen Dank! Trotz deiner Hilfe habe ich noch 2 Stunden gebraucht um alles zu entschlüsseln und zu verstehen. Ich habe noch einen weiteren Teil, dieser besteht jedoch an 2 Stellen aus dem Cosinus statt dem Sinus. Mal schauen welchen geistreichen Trick ich da anwenden muss. Ich wünsche einen guten Rutsch! LG:)

---

Danke gleichfalls.

Beim nächsten Mal kannst du einfach nachfragen, wo du mehr Zwischenschritte brauchst.

Ich finde es aber super, dass du dich durchgekämpft hast.