Satz von Stokes auf einer halben Mantelfläche eines Zylinders

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die halbe Mantelfläche des Zylinders definiert durch

$F:=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}=4,1 \leq z \leq 2, y \geq 0\right\} .$

Berechnen Sie für $A: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}$ mit $A(x, y, z)=\left(y z+z^{2}, z x, z+x y\right)$
$\int \limits_{F} \operatorname{rot} A(x) \cdot \nu(x) \mathrm{d} \sigma_{2}(x)$
direkt und mit Hilfe des Satzes von Stokes.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht so ganz wie ich auf den Normalenvektor hier kommen soll und allgemein was zutun ist.

Comments

Warum hängt in dem Integranden $A$ nur noch von $x$ ab ?

Wass ist mit $\nu(x)$ gemeint ?

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Das ist ein Tippfehler in der Aufgabe.

v(x) ist der Einheitsnormalenvektor

Text erkannt:

81.9 Definition. $\Omega \subseteq \mathbb{R}^{n}$ sei ein $C^{1}$-Gebiet. Die Funktion $\nu: \partial \Omega \rightarrow \mathbb{R}^{n}$ heißt äußeres Einheitsnormalenfeld (und $\nu(x)$ äußerer Einheitsnormalenvektor (oder Normaleneinheitsvektor) in $x \in \partial \Omega$, wenn für jedes $x \in \partial \Omega$ der Vektor $\nu(x)$ Länge 1 hat, senkrecht auf $\partial \Omega$ steht und nach außen zeigt $(x+t \nu(x) \notin \Omega$ für alle $t \in[0, \varepsilon)$ mit einem $\varepsilon>0)$. Mit $\Phi$ aus Definition 81.7 ist
$\nu(x)=\frac{\nabla \Phi(x)}{\|\nabla \Phi(x)\|}, \quad x \in \partial \Omega .$

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Hallo

Dass der Normalenvektor auf einen Zylinder radial ist, sollte man sehen auf die Deckel und Grundfläche in z und -z Richtung.

Gruß lul

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Kannst Du denn

1. Die Rotation von A berechnen?

2. Eine Parametrisierung von F angeben?

Answer 1

Aloha :)

Die Punktmenge$$F\coloneqq\{(x;y;z)\in\mathbb R^3\big|x^2+y^2=4\,;\;1\le z\le2\,;\;y\ge0\}$$können wir mit folgendem Ortsvektor in Zylinderkoordinaten abtasten:$$\vec r=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad\underbrace{\varphi\in[0|\pi]}_{y\ge0}\quad;\quad z\in[1|2]$$

1) Direkte Berechnung

Da wir 2 Freiheitsgrade, also 2 wählbare Variablen haben, beschreibt $F$ eine Fläche. Das Differential $d\vec r$ sagt uns, wie infinitesimale Änderungen in den wählbaren Variablen $\varphi$ und $z$ den Ortsvektor $\vec r$ verändern:$$d\vec r=\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi+\frac{\partial\vec r}{\partial z}\,dz$$Damit kennen wir auch die infinitesimale Änderung des Flächenelments $d\vec f$ am Ort $\vec r$:$$d\vec f=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\,d\varphi\right)\times\left(\frac{\partial\vec r}{\partial z}\,dz\right)=\left(\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\times\frac{\partial\vec r}{\partial\varphi}\right)\,d\varphi\,dz$$$$\phantom{d\vec f}=\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\,d\varphi\,dz=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\,dz$$

Wir sollen nun das Flächenintegral über $F$ für die Rotation des Vektorfeldes $\vec A$ bestimmen:$$\operatorname{rot}\vec A=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}yz+z^2\\zx\\z+xy\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x-x\\(y+2z)-y\\z-z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2z\\0\end{pmatrix}$$

Die direkte Berechnung sieht dann so aus:$$I=\int\limits_F\operatorname{rot}\vec A\,d\vec f=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\;\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}0\\2z\\0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\,dz=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\;\int\limits_{z=1}^24z\sin\varphi\,d\varphi\,dz$$$$\phantom I=2\int\limits_{\varphi=0}^\pi\sin\varphi\int\limits_{z=1}^2 2z\,dz=2\cdot\left[-\cos\varphi\right]_0^\pi\cdot\left[z^2\right]_1^2=2\cdot2\cdot3=12$$

2) Indirekte Berechnung (mit Satz von Stokes)

Bei Anwendung des Satzes von Stokes $\left(d\vec f\times\vec\nabla=d\vec r\right)$, müssen wir entlang aller Kanten der Fläche $F$ integrieren. Dazu blicken wir scharf auf die Gleichheitszeichen in den Bedingungen für die Zugehörigkeit zur Menge $F$ und finden 4 Rander. Oberwichtig ist bei Stokes, dass du die Randkurve in derselben Richtung durchläufst. Daher die pinken Integrationsintervalle.

Wir beginnen bei $z=1$ und $\varphi=0$:$$1)\quad z=1\quad\implies\quad\vec r_1=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in[0|\pi]$$Nun sind wir bei $z=1$ und $\varphi=\pi$. Wir laufen hoch zu $z=2$:$$2)\quad\varphi=\pi\quad\implies\quad\vec r_2=\begin{pmatrix}-2\\0\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in[1|2]$$Nun stehen wir bei $z=2$ und $\varphi=\pi$. Wir laufen zu $\varphi=0$:$$3)\quad z=2\quad\implies\quad\vec r_3=\begin{pmatrix}2\cos\varphi\\2\sin\varphi\\2\end{pmatrix}\quad;\quad \varphi\in\pink{[\pi|0]}$$Nun stehen wir bei $z=2$ und $\varphi=0$. Wir laufen runter zu $z=1$:$$4)\quad\varphi=0\quad\implies\quad\vec r_4=\begin{pmatrix}2\\0\\z\end{pmatrix}\quad;\quad z\in\pink{[2|1]}$$

Damit können wir das Integral formulieren:$$I=\int\limits_F(\vec\nabla\times\vec A)\,d\vec f=\int\limits_F\underbrace{(d\vec f\times\vec\nabla)}_{=d\vec r}\,\vec A=\int\limits_{\partial F}\vec A\,d\vec r$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\begin{pmatrix}2\sin\varphi\cdot1+1^2\\1\cdot2\cos\varphi\\1+2\cos\varphi\cdot2\sin\varphi\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_1}{d\varphi}\,d\varphi+\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}0\cdot z+z^2\\-2z\\z-2\cdot0\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_2}{dz}\,dz$$$$\phantom I+\int\limits_{\pink{\varphi=\pi}}^{\pink0}\begin{pmatrix}2\sin\varphi\cdot2+2^2\\2\cdot2\cos\varphi\\2+2\cos\varphi\cdot2\sin\varphi\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_3}{d\varphi}\,d\varphi+\int\limits_{\pink{z=2}}^{\pink1}\begin{pmatrix}0\cdot z+z^2\\z\cdot2\\z+2\cdot0\end{pmatrix}\,\frac{d\vec r_4}{dz}\,dz$$

In den beiden letzen Integralen vertauschen wir die pinken Integrationgrenzen und setzen dafür ein Minuszeichen vor das Integral:$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\begin{pmatrix}2\sin\varphi+1\\2\cos\varphi\\1+4\cos\varphi\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi+\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}z^2\\-2z\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dz$$$$\phantom I\mathbf{\pink-}\int\limits_{\varphi=0}^\pi\begin{pmatrix}4\sin\varphi+4\\4\cos\varphi\\2+4\cos\varphi\sin\varphi\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-2\sin\varphi\\2\cos\varphi\\0\end{pmatrix}d\varphi\pink-\int\limits_{z=1}^2\begin{pmatrix}z^2\\2z\\z\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}dz$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(-4\sin^2\varphi-2\sin\varphi+4\cos^2\varphi\right)d\varphi+\cancel{\int\limits_{z=1}^2z\,dz}$$$$\phantom I-\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(-8\sin^2\varphi-8\sin\varphi+8\cos^2\varphi\right)d\varphi-\cancel{\int\limits_{z=1}^2z\,dz}$$$$\phantom I=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(4\sin^2\varphi+6\sin\varphi-4\cos^2\varphi\right)d\varphi=\int\limits_{\varphi=0}^\pi\left(6\sin\varphi-4\cos(2\varphi)\right)d\varphi$$$$\phantom I=\left[-6\cos\varphi+2\sin(2\varphi)\right]_0^\pi=6-(-6)=12$$

Comments

Erstmal vielen vielen dank! (0,1,0) kann nicht der Normalenvektor sein oder ? Den habe ich genommen und bin bei beiden Methoden auf 12pi gekommen. Scheinbat habe ich etwas übersehen.

Ich hatte nämlich einmal als Integral: über F mit (0,2z,0)*(0,1,0). F ist 2pi. Dann habe ich für Z einmal 1 und einmal 2 eingesetzt. Dann kam ich auf 2*2pi+4*2pi und das ist 12 pi

Bei der anderen Version habe ich (2cos(t),2sin(t),1) und (2cos(-t),2sin(-t),2) betrachte. DIe habe ich beide in A eingesetzt jeweils. Die ableitung von (cos(t),sin(t),1) und (cos(-t),sin(-t),2) gebildet und jeweils mal Aneu betrachtet. Dann habe ich die beiden integrale über 0 bis pi betrachtet und addiert und da kam dann -12pi raus. :D

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Der Normalenvektor muss ja senkrecht auf der Zylinderoberfläche stehen. Da die Oberfläche gewölbt ist, kann der Normalenvektor nicht konstant sein. Stattdessen zeigt er radial nach außen.

Ich hätte den Normalenvektor auch direkt angeben können, aber es war mir wichtig, dass du mal siehst, wie der berechnet wird und warum man ihn so berechnen kann.

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vielen dank :)