Ungleichungen mit Beträgen usw

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe H 45. Ungleichungen
Bestimmen Sie alle \( x \in \mathbb{R} \), welche die folgende Ungleichung erfüllen:
\( |2 x+3| \geqq(x+1)^{2} \)

Problem/Ansatz:

Hallo Zusammen. Bei der Aufgabe bin ich erstmal so vorgegangen, dass ich mir die 2 Fälle angeschaut habe für den Betrag, der einmal mit einer normalen Klammer, dann mit einer Klammer wo eine Minus davor steht, ersetzt wird. Nun komme ich im ersten Fall auf x<= wurzel 2 und beim zweiten Fall auf x^2 +4x +4<= 0 und mit der PQ-Formel erhalte ich einen X-Wert von -2. Was für eine Aussage kann ich daraus ziehen? Welche Schritte fehlen hier noch?

Answer 1

im ersten Fall auf x<= wurzel 2 . Wenn das der Fall 2x+3≥0 war , hast du also

x≤√2    und    2x+3≥0

<=>   x≤√2    und   x ≥-1,5

Das wäre also -1,5 ≤ x≤√2.

2. Fall x² +4x +4 ≤ 0   und    x > -1,5

<=>      ( x+2) ^2  ≤ 0  und   x > -1,5

<=>           x=-2 und   x > -1,5    Das liefert also keine Lösung.

Comments

Du hast 2-mal den Fall x> -1,5.

https://www.wolframalpha.com/input?i=%7C2x%2B3%7C%3E%3D%28x%2B1%29%5E2

Answer 2

1. Fall: x>= -1,5

2x+3 >= x^2+2x+1

x^2 <= 2

|x| <=√2

L= [-√2;√2]

2. Fall:

x<-1,5

-2x-3 >= x^2+2x+1

x^2+4x+4 <=0

(x+2)^2 <=0

x= -2

L= {-2}

Answer 3

Aloha :)

$$|2x+3|\ge(x+1)^2$$$$2x+3\le-(x+1)^2\quad\lor\quad2x+3\ge(x+1)^2$$$$2x+3\le-x^2-2x-1\quad\lor\quad2x+3\ge x^2+2x+1$$$$x^2+4x+4\le0\quad\lor\quad x^2-2\le0$$$$(x+2)^2\le0\quad\lor\quad x^2\le2$$$$x=-2\quad\lor\quad-\sqrt2\le x\le\sqrt2$$

~plot~ abs(2x+3) ; (x+1)^2 ; {-2|1} ; {-sqrt(2)|3-2*sqrt(2)} ; {sqrt(2)|2*sqrt(2)+3} ; [[-4|2|-1|8]] ~plot~