Analyse und Bestimmung von Eigenwerten und Eigenvektoren einer symmetrischen Matrix

Question

Von der Matrix \( A \in \mathbb{R}^{3,3} \) ist bekannt:
a) \( A=A^{T} \) (und somit sind die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten orthogonal zueinander).
b)
\( A \cdot\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), A \cdot\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right) \)
c) 2 ist ein Eigenwert von \( A \).

Bestimmen Sie die drei Eigenwerte von \( A \) und zu jedem Eigenwert je einen Eigenvektor. Berechnen Sie dann \( A \).

Answer 1

\( A \cdot\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) = 0 \cdot\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ 1 / \sqrt{2} \end{array}\right)\)

und

\(   A \cdot\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right)  = 1 \cdot\left(\begin{array}{c} 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ -1 / \sqrt{2} \end{array}\right)  \)

Eigenwerte 0,1 und 2.

Und Eigenvektor zu 2 ist (0;1;0), weil der zu den anderen beiden orthogonal ist.

Answer 2

Benutze die Eigenschaft für Eigenwerte und Eigenvektoren. Für einen Eigenvektor \( v \neq 0 \) zum Eigenwert \( \lambda \) gilt \( Av= \lambda v \).

Jetzt schau die die Eigenschaften der Matrix nochmal genau an.