Zeigen Sie, dass genau dann R b

Question

Aufgabe:

Sei f : [a, b] → R stetig und f(x) ≥ 0 fur alle ¨ x ∈ [a, b].
Zeigen Sie, dass genau dann R b
a
f(x)dx > 0, wenn f(x) > 0 fur ein ¨ x ∈ (a, b)

Answer 1

Wohl so:   Vor.: Sei f : [a, b] → R stetig und f(x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b].

Zeigen Sie, dass genau dann $\int\limits_a^b f(x)dx \gt 0$  wenn f(x) > 0 für ein x ∈ (a, b).

==>: Sei f wie in der Vor. beschrieben und $\int\limits_a^b f(x)dx \gt 0$.

Angenommen es gäbe kein x∈ (a, b) mit f(x)>0, dann ist wegen der Vor.

für alle x ∈ (a, b)   f(x)=0  und wegen der Stetigkeit auch f(a)=0 und f(b)=0  ==>

$\int\limits_a^b f(x)dx = 0$ da es dem Integral über die 0-Funktion entspricht.

<==:   Sei f wie in der Vor. beschrieben und  z:= f(x_o) > 0 für ein x_o ∈ (a, b). Dann gibt

es wegen der Stetigkeit ε>0 und ein Intervall I := [xo-ε ; xo+ε]  mit f(x)>0 für alle x∈I.

==>  f besitzt auf I ein absolutes Minimum m>0 , also f(x)≥m für alle x∈I.

==>    $\int\limits_{x_0 - \epsilon }^{x_0 + \epsilon } f(x)dx \ge \int\limits_{x_0 - \epsilon }^{x_0 + \epsilon } m dx = m \cdot 2 \epsilon > 0$.

Und es ist $\int\limits_a^b f(x)dx = \int\limits_a^{x_0 - \epsilon } f(x)dx+ \int\limits_{x_0 - \epsilon }^{x_0 + \epsilon } f(x)dx+ \int\limits_{x_0 + \epsilon }^{b} f(x)dx$

$\ge 0 + \int\limits_{x_0 - \epsilon }^{x_0 + \epsilon } f(x)dx + 0 \gt m \cdot 2 \epsilon > 0$  q.e.d.

Comments

Diese Lösung hat einen kleinen formalen Fehler: Die Daten könnten so ungünstig sein, dass I nicht in [a,b] liegt.