\(f_a(x)= \frac{(1-x)·e^{a-x}}{a-1} \) \( a ∈ ℝ, a > 1\)
a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von \(f_2(x)\):
\(f_2(x)= (1-x)·e^{2-x} \)
Nullstellen:
\( (1-x)·e^{2-x}=0 \)
\( x=1 \)
\(e^{2-x}=0 \) \(e^2 \cdot e^{-x}= 0 \) \( e^{-x}= 0 \) Es gibt keine Lösung.
Schnitt mit der y-Achse:
\(f(0)= e^{2} \)
Zeigen Sie, dass f₂(x)→0 für x→∞ gilt:
\((1-x)·e^{2-x} =(1-x)·e^{2}\cdot e^{-x}=\frac{e^{2}(1-x)}{e^{x}} \)
Mit der Regel von l'Hospital:
\(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^{2}(1-x)}{e^{x}} =\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-e^{2}}{e^{x}}=0\)
Untersuchen Sie das Verhalten von f₂(x) für x → -∞
\(\lim\limits_{x\to-\infty}\frac{e^{2}(1-x)}{e^{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{e^{2}(1-x)}=\lim\limits_{x\to\infty}\frac{e^x}{-e^{2}}=∞\)
b) Untersuchen Sie f₂ auf Extrema.
\(f(x)= (1-x)·e^{2-x} \)
\(f'(x)= -e^{2-x}+(1-x)·e^{2-x}· (-1)\)
\(f'(x)= -e^{2-x}+(x-1)·e^{2-x}=e^{2-x}(x-2)\)
\(e^{2-x}(x-2)=0\)
\(x=2\) \(f(2)= -1 \)
Art des Extremwertes:
\(f'(x)= e^{2-x}(x-2)\)
\(f''(x)= e^{2-x}\cdot(-1)(x-2)+e^{2-x}\cdot(1)\)
\(f''(x)= e^{2-x}\cdot(2-x)+e^{2-x}\)
\(f''(x)= e^{2-x}\cdot(3-x)\)
\(f''(2)=1\cdot(1)>0\) Minimum
c) Begründen Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse, dass f₂ einen Wendepunkt haben muss.
Das Minimum hat die Koordinaten \((2|-1)\)
Da \(\lim\limits_{x\to\infty}\frac{-e^{2}}{e^{x}}=0\) gilt, und keine weitere Nullstelle bis auf \(x=1\) existiert, muss es einen
Wendepunkt geben.
d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A, den der Graph von f₂ mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten einschließt.
\(A=\int\limits_{0}^{1} (1-x)·e^{2-x}dx \)
\(2-x=u \) → \(x=2-u \) → \( \frac{dx}{du}=-1 \) →
\( dx=-du \)
\(A=\int\limits_{1}^{2} (1-u)·e^{u}du=\int\limits_{1}^{2} e^{u}du-\int\limits_{1}^{2}u e^u du \)
Einschub:
\(\int\limits_{1}^{2}u e^u du \)
Partiell integrieren:
\(\int\limits_{1}^{2}u e^u du=u e^u-\int\limits_{1}^{2}e^u du=[u e^u]_{1}^{2} -[e^u]_{1}^{2}=2e^2-e- [e^2-e]=e^2 \)
\(A=\int\limits_{1}^{2} (1-u)·e^{u}du=e^2-e -e^2=|-e|=e\)
e) Weisen Sie nach, dass sowohl die x-Koordinate des Extremums als auch die Art des Extremums unabhängig von der Wahl des Parameters a sind. Bestimmen Sie die Extremalkoordinaten für allgemeines a.
\(f_a(x)= \frac{(1-x)·e^{a-x}}{a-1} \)
\(f_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[(1-x)\cdot e^{a-x}]\)
\(f'_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[(-1)\cdot e^{a-x}+(1-x)\cdot e^{a-x}\cdot (-1)]\)
\(f'_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[(-1)\cdot e^{a-x}+(x-1)\cdot e^{a-x} ]\)
\(f'_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}(x-2) ]\)
\(\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}(x-2) ]=0\)
\( e^{a-x}(x-2) =0\)
\( e^{a-x} ≠0\)
\( x =2\)
\(f_a(2)= \frac{(1-2)·e^{a-2}}{a-1}= \frac{(-1)·e^{a-2}}{a-1}= \frac{e^{a-2}}{1-a} \)
Da \(a>1\) ist die y-Koordinate immer \(<0\)
\(f''_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ (-1) \cdot e^{a-x}(x-2)+e^{a-x} ]\)
\(f''_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}(2-x)+e^{a-x} ]\)
\(f''_a(x)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-x}\cdot(3-x) ]\)
Art des Extremum an der Stelle \(x=2\)
\(f''_a(2)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-2}\cdot(3-2) ]\)
\(f''_a(2)=\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-2} ]\)
Da \( a > 1\) ist \(\frac{1}{a-1}\cdot[ e^{a-2} ]>0\) Somit liegt immer ein Minimum vor.
Extremalkoordinaten für allgemeines a.:
\(E(2| \frac{(1-2)·e^{a-2}}{a-1}) \)
\(E(2| -\frac{e^{a-2}}{a-1})\)
f) Bestimmen Sie den Wert des Parameters a so, dass der Betrag der y-Koordinate des Extremums minimal wird.
\(f(a)=-\frac{e^{a-2}}{a-1}=\frac{e^{a-2}}{1-a}\) soll minimal werden
\(\frac{df(a)}{da}=\frac{e^{a-2}\cdot (1-a)-e^{a-2}\cdot(-1)}{(1-a)^2}=\frac{e^{a-2}\cdot(2-a)}{(1-a)^2}\)
\(\frac{e^{a-2}\cdot(2-a)}{(1-a)^2}=0\)
\(2-a=0\)
\(a=2\)
