Partielle Ableitung einer abstrakten Funktion

Question

Aufgabe:

Partielle Ableitung (nach x und y) der folgenden Funktion: f(x, y) = g(x + y, x − y)

Problem/Ansatz:

Wie leite ich mehrdimensionale Funktionen ab, die nicht eindeutig gegeben sind? Bzw. welche Ableitungsregeln muss ich hier anwenden? Ich freue mich über eine Antwort :)

Answer 1

Hier brauchst du die (mehrdimensionale) Kettenregel.

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Substituiere in der Funktion \(f\) die Variablen \(u\coloneqq x+y\) und \(v\coloneqq x-y\).

Dann ist \(f=f(u;v)\) und die Schreibweise ist weniger verwirrend:

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot1+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot1=\frac{\partial f}{\partial u}+\frac{\partial f}{\partial v}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\cdot1+\frac{\partial f}{\partial v}\cdot(-1)=\frac{\partial f}{\partial u}-\frac{\partial f}{\partial v}$$

Nach dem Ableiten musst du dann \(u\) durch \((x+y)\) und \(v\) durch \((x-y)\) ersetzen.

Comments

Wie hängt das Ganze mit g zusammen?