Zeigen Sie, dass die Ableitung ∂: K[X] → K[X] mit ∂(P):=P' eine K -Derivation ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei $K[X]$ der Polynomring über dem Körper $K$. Man nennt eine $K$-lineare Abbildung $\delta: K[X] \rightarrow K[X]$ eine $K$-Derivation, wenn $\delta(P Q)=P \delta(Q)+\delta(P) Q$ gilt für alle Polynome $P, Q \in K[X]$.
(a) Für ein Polynom $P=a_{0}+a_{1} X+\cdots+a_{n} X^{n} \in K[X]$ bezeichne
$P^{\prime}:=a_{1}+2 a_{2} X+\cdots+n \cdot a_{n} X^{n-1}$
die formale Ableitung. Zeigen Sie, dass die Ableitung $\partial: K[X] \rightarrow K[X]$ mit $\partial(P):=P^{\prime}$ eine $K$-Derivation ist.
(b) Man zeige: Ist $\delta: K[X] \rightarrow K[X]$ eine beliebige $K$-Derivation, so gibt es ein Polynom $Q \in K[X]$ mit $\delta(P)=P^{\prime} \cdot Q$.
(Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass $\delta\left(X^{k}\right)=k X^{k-1} \delta(X)$ für alle $k \geq 0$ gilt.)
(c) Sei $P \in K[X]$ ein Polynom vom Grad $\geq 2$ mit $P(a)=P^{\prime}(a)=0$. Zeigen Sie, dass $a$ eine doppelte Nullstelle von $P$ ist, d.h. $P=(X-a)^{2} Q$ für ein $Q \in K[X]$.

Problem/Ansatz:
a) ∂(PQ) = (PQ)' = ∂(P)*Q+∂(Q)*P = P'*Q+Q'*P Stimmt das so?

Ab hier weiß ich nicht mehr wie ich vorgehen soll

Comments

Den Hinweis zu b kannst Du mit Induktion zeigen.