LGS, unendlich viele Lösungen. Wie errechnet man x und y?

Question

Aufgabe: Lineares Gleichungssystem:

nach Umstellung lauten die letzten zwei Zeilen wie folgt.

2  -1  2  -1    = 2

0 5/2 4 -1/2  = 6

0   0  0   0    = 0

0  0   0   0    = 0  unendlich viele Lösungen.

Ich setze u = t und z = s. Dann ergibt sich aus der zweiten Zeile y = 12-8t+t /5, und aus der ersten schließlich

x = 11-9t+3t / 5. Die Lösungsmenge besteht also aus allen Vierereckvektoren der Form (11-9t+t/5 ;

 12-9s+3t/5,s,t) mit s,t ∈ Ιℜ.

Problem/Ansatz:

… Hallo Leute, wenn sich jemand mit LGS auskennt und etwas Zeit hat, bitte ich ihn, mir zu erklären, wie man x und y errechnet. Y kann ich noch errechnen aber X verstehe ich zur Zeit nicht. Danke für die Mühe

mfg

Comments

Wenn ich das richtig verstehe, hast Du bei der Berechnung von y nicht beachtet, dass z=s sein soll und nicht z=t. Außerdem hast Du notwendige Klammern nicht gesetzt:

y=(12-8t+s)/5

Dann setzt du in der ersten Zeile u=t, z=s und y ersetzt Du durch den gerade berechneten Term. Dann löst Du nach x auf

PS Wächter hat in seiner Antwort einen (technisch) alternativen Weg beschrieben.

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Danke für die Mühe

Answer 1

Baue an Deiner Matrix weiter, bis du die Einheitsmatrix (R^2) in den Spalten/Zeilen 1,2 hast

2. Zeile (2/5) und die dann zur 1. Zeile addieren. 1.te Zeile/2

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Danke für die Mühe

Answer 2

Aloha :)

Du bist noch nicht fertig mit der Umformung, in dem angegebenen Zustand kannst du das Ergebnis nicht direkt ablesen. Ziel ist es, so viele Spalten wie möglich zu erhalten, die aus lauter Nullen und genau einer Eins bestehen. Du könntest nun z.B. so weiterrechnen:

$$\begin{array}{rrrr|c|l}x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -1 & 2 & -1 & 2 &\\0 & \frac52 & 4 & -\frac12 & 6 & \cdot(-2)\\\hline2 & -1 & 2 & -1 & 2 &+\text{Zeile 2}\\0 & -5 & -8 & 1 & -12 &\\\hline2 & -6 & -6 & 0 & -10 &\div2\\0 & -5 & -8 & 1 & -12 &\\\hline\pink1 & -3 & -3 & 0 & -5 &\\0 & -5 & -8 & \pink1 & -12 &\end{array}$$

Jetzt kannst du an den pinken Einsen das Ergebnis ablesen, indem du die Gleichungen nach der entsprechenden pinken Variablen umstellst:$$\pink{x_1}-3x_2-3x_3=-5\quad\implies\quad\pink{x_1}=-5+3x_2+3x_3$$$$-5x_2-8x_3+\pink{x_4}=-12\quad\implies\quad\pink{x_4}=-12+5x_2+8x_3$$

und den Lösungsvektor allgemein angibst:$$\vec x=\begin{pmatrix}\pink{x_1}\\x_2\\x_3\\\pink{x_4}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5+3x_2+3x_3\\x_2\\x_3\\-12+5x_2+8x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\0\\0\\-12\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}3\\1\\0\\5\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}3\\0\\1\\8\end{pmatrix}$$