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Aufgabe:

Seien a, b ∈ R fixierte reelle Zahlen. Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

{ax+y= 0, x+by = 0.  Für welche Werte a, b ∈ R hat das lineare Gleichungssystem

a) keine Lösung?

b) genau eine Lösung?

c) unendlich viele Lösungen?


Ansatz: bei a) weiß ich nicht, b) wenn a, b = 0, c) weiß ich auch nicht

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Die erste Gleichung beschreibt die Gerade y=-ax. Das ist eine Ursprungsgerade.

Die zweite Gleichung lässt sich für b≠0 umformen in y=\(- \frac{1}{b}x \).

Das ist AUCH eine Ursprungsgerade.

Somit haben beide Geraden schon mal den Ursprung als gemeinsamen Punkt und damit

x=0 , y=0 als eine Lösung des Gleichungssystems.

Wenn nun auch noch die beiden Anstiege -a und \( -\frac{1}{b} \) übereinstimmen, sind die Geraden identisch und das System hat unendlich viele Lösungen.

Bevor jemand kritisiert: Natürlich ist mir bewusst, dass auch in den vorliegenden Darstellungen (ax+y= 0, x+by = 0) bereits schon Ursprungsgeraden klar erkennbar sind. Die Umformungen nach y habe ich nur deshalb vorgenommen, weil diese Formen aus der schulischen Erfahrung präsenter und die Gestalt der beschriebenen Geraden somit leichter nachvollziehbar sind.


Im bisher ausgeklammerten Fall b=0 ist die erste Gleichung immer noch y=-ax, während sich die zweite Gleichung zu x=0 vereinfacht. Diese beiden Geraden schneiden sich für jedes beliebige a nur im Ursprung.

Avatar von 53 k 🚀

und was ist mit keine Lösung ??

Beide Geraden gehen IMMER durch den Ursprung. Da ist es sehr schwer, keinen gemeinsamen Punkt zu haben...

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