Matrix bilden, wenn Spur, Eigenwerte gegeben

Question

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Aufgabe $6 \quad$ (4 Punkte)
$\square 0 \square 1 \square 2 \square 3 \square 4$

Gegeben sei die symmetrische Matrix $A \in \mathbb{R}^{3 \times 3}$ mit $\operatorname{Sp} A=-4$, den Eigenwerten $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-2$ und den Eigenräumen $V\left(\lambda_{1}\right)=\mathrm{L}\left((1,3,0)^{\top}\right)$ und $V\left(\lambda_{2}\right)=\mathrm{L}\left((0,0,1)^{\top}\right)$.
(a) Bestimmen Sie den dritten Eigenwert: $\lambda_{3}=-3$.
(b) Bestimmen Sie: $\operatorname{det}(A)=\square$.
(c) Geben Sie eine Transformationsmatrix $T$ und die dazugehörige Diagonalmatrix $D$ so an, dass $D=T^{-1} A T$.
$T=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 3 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right), \quad D=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{array}\right)$

Aufgabe:

Wie kann man unter Berücksichtigung dieser Angaben eine Matrix zusammenstellen?

LG

Answer 1

Aloha :)

zu a) Die Summe der Elemente auf der Hauptdiagonalen (die Spur) ist glech der Summe der Eigenwerte. Daraus resultiert der dritte Eigenwert:$$\lambda_3=\operatorname{Sp}(A)-\lambda_1-\lambda_2=-4-1-(-2)=-3$$

zu b) Die Determinante einer Matrix ist gleich dem Produkt der Eigenwerte:$$\operatorname{det}(A)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3=1\cdot(-2)\cdot(-3)=6$$

zu c) Bei einer symmetrischen Matrix sind die Eigenvektoren paarweise orthogonal zueinander. Der fehlende Eigenvektor ist daher:$$\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\-1\\0\end{pmatrix}$$In die Transformationsmatrix $T$ kommen die drei Eigenvektoren als Spalten. Die Diagonalmatrix $D$ enthält die zugehörigen Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen.