Was ist an meiner Vorgehensweise falsch?
Sei \( k\in\mathbb{R} \).
\( \begin{array}{l} y^{\prime \prime}(x)-k^{2} y=0 \\ \Rightarrow \lambda^{2}-k^{2}=0 \Rightarrow \lambda_{1,2}= \pm k \\ \Rightarrow y(x)=A e^{k x}+B e^{-k x}, \end{array} \)
dabei sind \( A, B \in \mathbb{R} \) Konstanten.
Lösung im Buch:
\( y_{b}(x)=A \cos (k x)+B \sin (k x) \)
Randbedingungen
\( y(0)=0, y(a)=0 \)
Mit meiner Lösung:
\( \begin{array}{l} y(0)=A e^{0}+B e^{0}=A+B=0 \Leftrightarrow A=-B \\ y(a)=A\left(e^{k x}-e^{-k x}\right)=0 \Rightarrow A=0 \Rightarrow B=0 \end{array} \)
Mit Buch-Lösung:
\( \begin{array}{l} y_{b}(0)=A \cos (0)+B \sin (0)=A=0 \\ y_{b}(a)=B \sin (k a)=0 \end{array} \)
\( \Rightarrow B=0 \) oder \( a=n \pi \) mit \( n \in \mathbb{N} \)
