Komplexe Gleichung in algebraische Form x+yi darstellen

Question

Aufgabe:

Stellen sie  \( z = \frac{(\sqrt{3} - i)^{15}}{(2 + 2i)^7} \) in der (algebraischen) Form von x+yi dar.

hier fällt mir leider gar kein Ansatz ein

Answer 1

Aloha :)

Mit den binomischen Formeln finden wir:$$(\sqrt3-i)^3=(\sqrt3)^3-3\cdot(\sqrt3)^2\cdot i+3\sqrt{3}\cdot i^2-i^3\stackrel{(i^2=-1)}{=}3\sqrt3-9i-3\sqrt3+i=-8i$$$$(2+2i)^2=2^2+2\cdot2\cdot2i+(2i)^2\stackrel{(i^2=-1)}{=}4+8i-4=8i$$

Daher folgt für den Bruch:$$z=\frac{(\sqrt3-i)^{15}}{(2+2i)^7}=\frac{1}{2+2i}\cdot\frac{\left((\sqrt3-i)^3\right)^5}{\left((2+2i)^2\right)^3}=\frac{\pink{(2-2i)}}{(2+2i)\pink{(2-2i)}}\cdot\frac{(-8i)^5}{(8i)^3}$$$$\phantom z=\frac{2-2i}{8}\cdot\left(\frac{-8i}{8i}\right)^3\cdot(-8i)^2=\frac{1-i}{4}\cdot(-1)\cdot(-64)=\boxed{16-16i}$$

Comments

Die von abakus angegebene Lösungsidee (über die Polardarstellung) gefällt mir deutlich besser. Es war nicht verlangt, den gesamten Lösungsweg, sondern nur das Ergebnis in kartesischer Form anzugeben.

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Mir gefällt mein Lösugsweg besser ;)

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Die Schwierigkeit bei dieser Lösung besteht meiner Meinung nach darin, zu erkennen, dass sowohl Zähler als auch Nenner irgendwie 8i bzw. -8i enthalten.

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danke dir sonst machen wir das immer über die polardarstellung wie abakus vorschlag aber das fiel mir bei diesem beispiel sehr schwer.

hier konnte ich alles nachvollziehen

Answer 2

Der Zähler hat den Betrag 2¹⁵, der Nenner hat den Betrag (2√2)⁷.

Der Zähler hat das Argument 15*(-30°), der Nenner hat das Argument 7*45°.

Kannst du jetzt den Quotienten bilden?

Comments

wie kommt man auf 15*(-30) und 7*45

betrag hab ich verstanden hab auch das gleiche rausbekommen

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beim zähler argument erhalte ich einmal cos α=\( \frac{\sqrt{3}}{2} \)

und sin α = -\( \frac{1}{2} \)

also \( \frac{11π}{6} \)