Question

Eine Parabel 3. Ordnung durch O (0/0) hat in W(1/-2) eine Wendetangente, die parallel zu g(x) = 2x+3 verläuft.

Wie lautet die Funktionsgleichung?

Answer 1

Hi,

die Bedingungen die abgelesen werden können sind:

f(0)=0               (Geht durch Ursprung)

f(1) = -2           (Wendepunkt)

f''(1)=0             (Bedingung für Wendepunkt)

f'(1)=2              (Steigung ist 2)

 

Es ergibt sich das Gleichungssystem:

d = 0

a + b + c + d = -2

6a + 2b = 0

3a + 2b + c = 2

 

Das gelöst führt zu f(x) = -4x^3+12x^2-10x

 

Grüße

Answer 2

 

Parabel 3. Ordnung allgemein:

f(x) = ax³ + bx² + cx + d

Die gesuchte Parabel geht durch (0|0), also

I. f(0) = d = 0

Sie geht durch W(1|-2), also

II. f(1) = a + b + c = -2

Wie hat in W einen Wendepunkt, also ist dort die 2. Ableitung = 0

f'(x) = 3ax² + 2bx + c

f''(x) = 6ax + 2b

III. f''(1) = 6a + 2b = 0

Die Wendetangente ist parallel zur g(x), also hat f(x) dort auch den Anstieg 2

IV. f'(1) = 3a + 2b + c = 2

Vier Gleichungen, vier Unbekannte, es ergibt sich

a = -4

b = 12

c = -10

d = 0

Die gesuchte Funktion lautet also

f(x) = -4x³ + 12x² - 10x

 

Besten Gruß