Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Extrempunkte der Graphen von fa und …

Question

Aufgabe:

Gegeben ist für a Element R+ eine Schar mit fa(x)= e^(2x) -a*e^x

1. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Extrempunkte der Graphen von fa und ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Extrempunkte liegen.

2. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Wendepunkte der Graphen von fa.

3. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Gleichung der Tangente durch den Wendepunkt der Graphen
von fa.

4. Bestimmen Sie die Scharkurve, die die y-Achse bei y= -2 schneidet.

5. Es sei a=2. Durch den Punkt P(-2/0) werde eine Sekante gelegt, die den Graphen von fa unterhalb der x-Achse in einem weiteren Punkt Q(u/v) schneidet. Die Sekante, die x-Achse und die Gerade g mit x-u bilden ein Dreieck.
Bestimmen Sie in die Koordinaten dieses Punktes Q so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.

Problem/Ansatz:

Meine Lösung ist:

1. TP(ln(a/2)| -a²/4), Ortskurve der Tiefpunkte: y=-e^(2x)

2. WP(ln(a/4)| -3a²/16), Linkskrümmung am Wendepunkt

3. Tangente: y=-a²/8 *x + (-3a² + 2ln(a/4)* a²)/16

4. Für a=3 gilt: f(x)= e^(2x)-3e^x

5. Hauptbedingung: A= 0,5*g*h

Nebenbedingung: h=f2(x) und g=x-2 und x=u

Zielfunktion: A(x)= 0,5*(x-2) * ( e^2x-2e^x)

Dann habe ich den Hochpunkt bei HP(-0,321| 1,07) und würde sagen dass der Flächeninhalt für x=u=-0,321 mit 1,07 FE maximal wird.

Ist meine Rechnung richtig?

Vielen Dank!

Comments

zur Selbstkontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

https://www.wolframalpha.com/input?i=e%5E%282x%29-ae%5Ex+where+x%3D+…

Answer 1

Also in Aufgabe 1-4 sehe ich soweit keinen Fehler. Du hast Anzahl und typ der Extrem- und Wendepunkte hier nur nicht angegeben. Aber ich denke das hast du ebenfalls gemacht. Ist ja auch nicht schwer.

Aufgabe 5. ist merkwürdig. Der Punkt P liegt nicht auf der Funktion oder? Ergibt sich so für die Gerade durch P und Q eine Sekante? Meiner Meinung nach nicht.

Weiterhin ist "die Gerade g mit x-u bilden ein Dreieck" fehlerhaft. "x = u" wäre da wohl passender.

Prüf da bitte nochmals die Aufgabenstellung.

Comments

Danke, du hast recht. Es heißt x=u . Ich habe einen Fehler beim abtippen gemacht

Answer 2

Gegeben ist für a Element $R_+$ eine Schar mit $f_a(x)=e^{2x} -a\cdot e^{x}$

1. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Extrempunkte der Graphen von $fa$ und ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Extrempunkte liegen.

$f'_a(x)=e^{2x}\cdot 2 -a\cdot e^{x}$

$e^{2x}\cdot 2 -a\cdot e^{x}=0$

$e^{x}( 2e^{x} -a)=0$ Satz vom Nullprodukt:

1.) $e^{x}≠0$  ∈ ℝ

$2e^{x} -a=0$

$e^{x}=\frac{a}{2}$     mit $\ln (e)=1$:

$x=\ln(\frac{a}{2})$      $f_a(\ln(\frac{a}{2}))=e^{2\cdot \ln(\frac{a}{2})} -a\cdot e^{\ln(\frac{a}{2})}$

Art des Extremwerts:

$f''_a(x)=e^{2x}\cdot 2\cdot 2 -a\cdot e^{x}=4e^{2x} -a\cdot e^{x}$

$f''_a(\ln(\frac{a}{2}))=4e^{2\ln(\frac{a}{2})} -a\cdot e^{\ln(\frac{a}{2})}$

Einschübe:

$e^{2\ln(\frac{a}{2})}=e^{\ln((\frac{a}{2})^2)}=\frac{a^2}{4}$   und  $e^{\ln(\frac{a}{2})}=\frac{a}{2}$

$f''_a(\ln(\frac{a}{2}))=a^2-\frac{a^2}{2}=\frac{a^2}{2}>0$ Minimum

Somit existiert nur ein Extrempunkt.

$f_a(\ln(\frac{a}{2}))=\frac{a^2}{4} -\frac{a^2}{2}=-\frac{a^2}{4}$

Ortskurve der Minima:

$x=\ln(\frac{a}{2})$ Auflösen nach $a$:  $e^x=e^{\ln(\frac{a}{2})}=\frac{a}{2}$

$a=2e^x$  Einsetzen in   $y= -\frac{a^2}{4}$:

$y= -\frac{4e^{2x}}{4}=-e^{2x}$

2. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Wendepunkte der Graphen von $f_a$.

Für die Bestimmung der Wendepunkte benötigen wir die 2. Ableitung:
$f''_a(x)=4e^{2x} -a\cdot e^{x}$
$4e^{2x} -a\cdot e^{x}=0$  Satz vom Nullprodukt:
$e^{x}(4e^{x} -a)=0$
$e^{x}≠0$  ∈ ℝ
$e^{x}= \frac{a}{4}$
$x= \ln(\frac{a}{4})$
$f_a(\ln(\frac{a}{4}))=e^{2\cdot \ln(\frac{a}{4})} -a\cdot e^{\ln(\frac{a}{4})}\\=\frac{a^2}{16}-\frac{a^2}{4}\\=-\frac{3a^2}{16}$

Typ des einzigen Wendepunktes:

$f''(x) < 0$ Rechtskrümmung
$f''(x) > 0$ Linkskrümmung

Ab dem Wendepunkt (bis ∞)ist der Graph linksgekrümmt:

3. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Gleichung der Tangente durch den Wendepunkt der Graphen von $f_a$.

$f'_a(x)=e^{2x}\cdot 2 -a\cdot e^{x}$

Wendestelle: $x=\ln(\frac{a}{4})$

$f'_a(\ln(\frac{a}{4})=e^{2\cdot \ln(\frac{a}{4})}\cdot 2 -a\cdot e^{\ln(\frac{a}{4})}\\=\frac{a^2}{8}-\frac{a^2}{4}=-\frac{a^2}{8}$

Tangentengleichung:

$\frac{y+\frac{3a^2}{16}}{x-\ln(\frac{a}{4})}=-\frac{a^2}{8}$

$y=-\frac{a^2}{8}x+\frac{a^2}{8}\cdot \ln(\frac{a}{4})-\frac{3}{16}a^2$

4. Bestimmen Sie die Scharkurve, die die y-Achse bei $y= \red{-2}$ schneidet.

$\red{-2}=e^{2x} -a\cdot e^{x}$

Beim Schnitt mit der y-Achse ist $x=0$:

$\red{-2}=1 -a$

$a=3$:

$f_3(x)=e^{2x} -3\cdot e^{x}$

5. Es sei $a=2$. Durch den Punkt P$(-2|f(-2))$ werde eine Sekante gelegt, die den Graphen von fa unterhalb der x-Achse in einem weiteren Punkt Q(u/v) schneidet. Die Sekante, die x-Achse und die Gerade g mit x-u bilden ein Dreieck.
Bestimmen Sie in die Koordinaten dieses Punktes Q so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.

$f(x)=e^{2x} -2\cdot e^{x}$
P$(-2|f(-2))$:
$f(-2)=e^{-4} -2\cdot e^{-2}$
Q$(u|f(u))$:
$f(u)=e^{2u} -2\cdot e^{u}$
Geradengleichung durch P und Q   (2 Punkteform der Geraden):
$\frac{y-e^{-4}+2\cdot e^{-2}}{x+2}=\frac{e^{2u}-2e^u+e^{-4}+2e^{-2}}{u+2}$
Nullstelle dieser Geraden:
$\frac{0-e^{-4}+2\cdot e^{-2}}{x+2}=\frac{e^{2u}-2e^u+e^{-4}+2e^{-2}}{u+2}$
Nun nach x auflösen:

$\frac{x+2}{2\cdot e^{-2}-e^{-4}}=\frac{u+2}{e^{2u}-2e^u+e^{-4}+2e^{-2}}$

$x=\frac{(u+2)(2\cdot e^{-2}-e^{-4})}{e^{2u}-2e^u+e^{-4}+2e^{-2}}-2$

Das folgende Bild zeigt nun das zu maximierende Dreieck: