Aufgabe:
Gegeben ist für a Element R+ eine Schar mit fa(x)= e^(2x) -a*e^x
1. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Extrempunkte der Graphen von fa und ermitteln Sie die Gleichung der Ortskurve, auf der alle Extrempunkte liegen.
2. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Anzahl und den Typ der Wendepunkte der Graphen von fa.
3. Berechnen Sie in Abhängigkeit vom Parameter a die Gleichung der Tangente durch den Wendepunkt der Graphen
von fa.
4. Bestimmen Sie die Scharkurve, die die y-Achse bei y= -2 schneidet.
5. Es sei a=2. Durch den Punkt P(-2/0) werde eine Sekante gelegt, die den Graphen von fa unterhalb der x-Achse in einem weiteren Punkt Q(u/v) schneidet. Die Sekante, die x-Achse und die Gerade g mit x-u bilden ein Dreieck.
Bestimmen Sie in die Koordinaten dieses Punktes Q so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird und geben Sie diesen maximalen Flächeninhalt an.
Problem/Ansatz:
Meine Lösung ist:
1. TP(ln(a/2)| -a^2/4), Ortskurve der Tiefpunkte: y=-e^(2x)
2. WP(ln(a/4)| -3a^2/16), Linkskrümmung am Wendepunkt
3. Tangente: y=-a^2/8 *x + (-3a^2 + 2ln(a/4)* a^2)/16
4. Für a=3 gilt: f(x)= e^(2x)-3e^x
5. Hauptbedingung: A= 0,5*g*h
Nebenbedingung: h=f2(x) und g=x-2 und x=u
Zielfunktion: A(x)= 0,5*(x-2) * ( e^2x-2e^x)
Dann habe ich den Hochpunkt bei HP(-0,321| 1,07) und würde sagen dass der Flächeninhalt für x=u=-0,321 mit 1,07 FE maximal wird.
Ist meine Rechnung richtig?
Vielen Dank!
