Potentialfeld eines Vektorfeldes überprüfen

Question

Aufgabe:

Die Aufgabe sei es zu überprüfen, ob ein skalares Potentialfeld dessen eines ebenso gegebenen Vektorfeldes entspricht.

Problem/Ansatz:

Natürlich würde nun die Option bestehen das Potential des Vektorfeldes auszurechnen und zu vergleichen. Um jedoch aber Zeit in der Klausur zu sparen frage ich mich, ob es auch in Ordnung wäre den Gradienten des gegebene Potentials zu berechnen, um anschließend zu überprüfen, ob das Vektolfeld rauskommt. Wenn dies passt (und zudem die Rotation des Vektorfeldes null ist), sollte dies doch ebenso als Nachweis gelten, oder?

Answer 1

Wenn ein Skalarfeld h gegeben ist und ein Vektorfeld F und die Frage ist, ob h ein Potential zu F ist, dann brauchst Du in der Tat nur nachrechnen, dass/ ob

$$\nabla h=F$$

Ist. Denn das ist die Definition von Potential. (Dann folgt auch, dass die Rotation von F gleich 0 ist.)

Comments

Hallo,
dazu hätte ich einmal eine Frage. Das Potential ist ja so definiert, dass das Vektorfeld rauskommt, wenn man den negativen Nabla (Gradienten) auf das Potentialfeld anwendet. Also:
$$F = -\nabla V$$
Die Aufgabe ist wie folgt:
$$\text{Ist } V(x,y,z)=4y^4z^5+2x^2yz+4x^4z \text{ ein Potential von } F(x,y,z) = \begin{pmatrix} 4xyz+16x^3z\\16y^3z^5+2x^2z\\20y^4z^4+2x^2y+4x^4 \end{pmatrix}$$

Von den Koeffizienten her würde alles passen, jedoch aber nicht von den Vorzeichen. Deswegen würde ich hier jetzt sagen, dass es nicht das Potential von F ist. Sehe ich das richtig?

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Es gibt 2 Definitionen: Mit Vorzeichen Minus und ohne - je nachdem ob man das Potential eher in einem Physik-Zusammenhang benutzt. Du musst also prüfen, wie Ihr das definiert habt:

Jedenfalls hast Du Recht: Bei dem gegebenen Beispiel fehlt es - eventuell - am Minus-Zeichen