Doppelintegral Integrationsgrenzen vertauschen

Question

Hello again, wir sollen die Integrationsgrenzen eines Doppelintegrals auf zwei Arten bestimmen. Ich denke dass das erste (in Rot) passen müsste. Ich komme aber bei Vertauschung der Integrationsvariablen nach Ausrechnen möglicher Kandidaten für die Grenzwerte einfach nicht weiter. In der Vorlesung hatten wir das Thema bzw. Vorgehen gar nicht.

Text erkannt:

\( x=y^{2}-4, y=x-2 \)

Cban tie 2 llogliableiten an.
1. \( \iint_{0} f(x, y) d x d y \)
4 Gremen y ?
\( \begin{array}{l} x=x \Rightarrow y^{2}-y-6=0 \quad y_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1+24}}{2} \Rightarrow y_{1}=3 \\ y_{2}=-2 \end{array} \)
2. \( \int f f(x, y) d y d x \)
\( \begin{array}{l} \text { Guen } y: \quad-\sqrt{x+4} \leq y \leq \sqrt{x+4} \\ \text { Gumen } x: y=0 \Rightarrow x_{1}=-4 x_{2}=2 \quad \text { II } \\ y=y \Rightarrow x_{3}=0 \quad x_{4}=5 \end{array} \)

Answer 1

Es hilft in das Integrationsgebiet Linien einzuzeichnen, in denen das Gebiet durchlaufen wird.

1. Variante: y von -2 bis 3: horizontale Linien für die x-Richtung: Linien von der Parabel bis zu Geraden. Ergebnis: Deine rotes Ergebnis stimmt.

2. Variante: x von -4 bis 5: Beachte die Schnittpunkte (5,3) und (0,-2) (Deine Skizze stimmt nicht ganz). Hier siehst Du, dass die untere Grenze von der Parabel auf die Gerade wechselt. Das Integral muss also aufgeteilt werden. Obere Grenze ist beide Male die Parabel.

Also: \(\int\limits_{-4}^0\; \int\limits_{-\sqrt{x+4}}^{\sqrt{x+4}}f(x,y)\,dy\,dx+\int\limits_0^5 \int\limits_{x-2}^{\sqrt{x+4}}f(x,y)\,dy\,dx\)

Man sieht an den beiden Varianten, dass das Umschreiben hilfreich sein kann, weil eine Variante leichter zu rechnen ist als die andere.

Comments

Ahhh, jetzt ergibt es Sinn! Danke!! Ich muss mir auf jeden Fall mehr Mühe mit den Skizzen geben.