a) Wie lautet die quadratische Parabelgleichung des Wassergrabens?
\(w(x)=a(x-2)^2+3\)
\(P(0|1)\):
\(w(0)=a(0-2)^2+3=4a+3\) \(4a+3=1\) \(a=-0,5\)
\(w(x)=-0,5(x-2)^2+3\)
Welche lineare Funktion beschreibt den Verlauf des Zaunes?
Achsenabschnittsform der Geraden: \( \frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1 \)
\( \frac{x}{2}+\frac{y}{-1}=1 \) \( z(x)=0,5x-1\)
b) Unter welchem Winkel treffen Wassergraben und Zaun aufeinander?
\( w(x)=z(x)\)
\(-0,5(x-2)^2+3=0,5x-1 |-3\)
\(-0,5(x-2)^2=0,5x-4 |-0,5x\)
\(-0,5(x-2)^2-0,5x=-4 |:(-0,5)\)
\((x-2)^2+x=8 \)
\(x^2-4x+4+x=8 \)
\(x^2-3x=4 \)
\(x^2-3x+1,5^2=4 +1,5^2 \)
\((x-1,5)^2=4 +1,5^2=6,25 | ±\sqrt{~~} \)
1.)
\(x-1,5=2,5 \)
\(x_1=4 \)
2.)
\(x-1,5=-2,5 \)
\(x_2=-1 \)
Der Zaun ist nur im Bereich \(-1<=x<=3\) bis zum gelben Rechteck als geradlinige Funktion beschreibbar.
\(w'(x)=-(x-2)=-x+2\)
\(w'(-1)=-(-1)+2=3\) \(m_w=3\) \(m_z=0,5\)
Allgemeine Formel zur Winkelberechnung:
\(\tan(α)= |\frac{m_2-m_1}{1+m_1\cdot m_2}| \)
\(\tan(α)= |\frac{3-0,5}{1+3\cdot 0,5}|=\frac{2,5}{1+1,5}=\frac{2,5}{2,5}=1 \)
\(\tan^{-1}(1)=45° \)
