Monotonie von Folge zeigen

Question

Folgendes gilt es zu zeigen: Zeige, dass die Folge a_n= (1-1/n²)ⁿ, (n≥2) monoton wachsend ist. Es ist als Hinweis angegeben, dass man die Ungleichung vom geometrischen und arithmetischen Mittel verwenden soll. Meine Frage ist, ob man hier nicht mit der Definition arbeiten kann ,sprich: a_n+1-a_n>0

Comments

Natürlich könntest du zeigen, dass $a_{n+1}-a_n>0$ gilt.

Allerdings ist der Tipp nicht zum Spaß angegeben, denn der direkte Nachweis ist nicht offensichtlich und auch nicht einfach zu berechnen.

Daher empfehle ich bei solchen Aufgaben immer, die Lösungshinweise zu beachten. Die Aufgabensteller haben sich in der Regel was dabei gedacht.

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Ok, ich habe es mal versucht und abgeglichen. Ab dem Punkt "G<=A" verstehe ich nicht genau was gemacht wird. Die Ungleichung bzgl des arithmetischen bzw. geometrischen Mittels ist ja √a*b≤(a+b)/2. Wie entsteht der Ausdruck für A?

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Man könnte es so schreiben:

[(1-1/n²)ⁿ^2]^(1/n)

lim (1-1/n²)ⁿ^2 = 1/e

(1/e)^(1/n) nähert sich 1 an für n -> oo

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Auf was genau beziehst du dich?

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Der Beweis ist korrekt.

In dem Rechenschritt $(G\le A)$ wird die AGM-Ungleichung verwendet:$$\phantom{\stackrel{\text{AGM}}{\le}}\sqrt[n+1]{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)^n\cdot1}=\sqrt[n+1]{\underbrace{\underbrace{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)\cdots\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}_{n\text{ Faktoren}}\cdot1}_{(n+1)\text{ Faktoren}}}$$$$\stackrel{\text{AGM}}{\le}\frac{\overbrace{\overbrace{\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)+\ldots+\left(\frac{n^2-1}{n^2}\right)}^{n\text{ Summanden}}+1}^{(n+1)\text{ Summanden}}}{n+1}=\frac{\frac{n^2-1}{n}+1}{n+1}=\frac{n^2-1+n}{n(n+1)}$$$$=1-\frac{1}{n(n+1)}\pink<1-\frac{1}{(n\pink{+1})(n+1)}=1-\frac{1}{(n+1)^2}$$

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Asoooo, ok absolut nachvollziehbar. Aber ist es auch richtig, wenn man meint, dass die Folge streng monoton steigend ist. Es soll ja nur gezeigt werden, dass die Folge monoton wachsend ist (also bzgl deiner Ungleichung am Ende). Oder ist beides korrekt?

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Wenn die Folge streng monoton steigend ist (wie hier), ist sie insbesondere auch monoton steigen. (Wenn immer das Kleiner-Zeichen gitt, gilt auch immer das Kleiner-Gleich-Zeichen.)

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ok, alles klar. vielen Dank

Answer 1

Natürlich kannst du das. Es schreibt dir niemand vor, wie du einen Beweis führen sollst. Er muss am Ende nur mathematisch korrekt und logisch sein. Die Abschätzung musst du aber dennoch machen und da hilft eben der Hinweis.

Comments

Mit der reinen Definition komme ich vom Umformen her nur bis zu folgendem Ausdruck: ((n²+2n)/(n²+2n+1))^(n+1) - ((n²-1)/(n²))ⁿ. Von diesem Ausdruck kann man schwer ablesen ob dieser größer null ist. Wie könnte ich sonst mit Hilfe des Hinweises den Beweis genau liefern