Zeigen von Monotonie und Grenzwert einer rekursiv definierten Folge

Question

Aufgabe:

Die rekursiv definierte Folge \((a_n)_n\) ist gegeben durch:

\( a_1 = \sqrt{2}, \quad a_{n+1} = \sqrt{ 2+a_n} \quad (n \in \mathbb N )\)

1. Zeige, dass \(0 < a_n < 2\) für alle \(n \in \mathbb N\) ist.

2. Zeige, dass die Folge \((a_n)_n\) streng monoton wachsend ist.

3. Folgere, dass die Folge \((a_n)_n\) konvergiert und bestimme ihren Grenzwert.

Answer 1

1.. Induktion:

IA: \(0< a_1=\sqrt{2}< 2\) ist OK.

IV und IS: $$0<a_n<2\Rightarrow 2< 2+a_n<2+2=4\Rightarrow 0<\sqrt{2}<\sqrt{a_n+2}=a_{n+1}<\sqrt{4}=2$$2. Induktion:

IA: \(a_1=\sqrt{2} < \sqrt{2+\sqrt{2}}=a_2\).

IV und IS:$$a_n<a_{n+1}\Rightarrow 2+a_n< 2+a_{n+1}\Rightarrow\sqrt{2+a_n}<\sqrt{2+a_{n+1}}, $$d.h. \(a_{n+1}< a_{n+2}\)

3. Für den Grenzwert \(a\) muss gelten \(a=\sqrt{2+a}\). Quadriere das und finde

die nichtnegative Lösung.