2^k / k! Wert angeben (Reihen)

Question

Anlehnend an die andere Frage, wo es auch um die Reihen ging (die aber recht einfach aufgr. der harmonischen Reihe zu beantworten war), habe ich nun eine ähnliche Frage: Wie berechnet man den Wert von $$ \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^k}{k!} $$ bzw. kommt auf e²?

Wie habe ich bei solchen Aufgaben generell vorzugehen? Sobald der Betrag von q kleiner als ist, kann ich es mit 1 / 1-q berechnen. Aber bei solchen Reihen wird es schwieriger, den Wert anzugeben. Ich habe zwar in der Formelsammlung bestimmte Regeln stehen, aber anhand dieser kann ich halt nur sagen, ob Reihe XY konvergiert oder nicht, aber den genauen Wert kann ich halt eben nicht angeben.

Answer 1

Man sollte die Reihe der e-Funktion kennen. Es gilt \( \mathrm{e}^x=\sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \). Der Beweis wurde sicherlich in der Vorlesung geführt und findet man sonst im Internet.

Comments

Ok, wie schaut's aus mit dem 2. Teil der Frage?

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Im Allgemeinen ist es nicht trivial, die Grenzwerte von Reihen anzugeben. Man führt sie häufig - wie in diesem Fall - auf bekannte Reihen zurück. Auch das von dir genannte Beispiel mit der geometrischen Reihe ist ein solches Beispiel. Da solltest du einfach schauen, welche besonderen Reihen ihr behandelt habt.

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Verstehe, danke dir!