Cauchy-Produkt und Reihenkonvergenz

Question

Aufgabe (Thema: Analysis 1 Reihen):

Es geht um das Cauchy-Produkt:

Aufgabe 3: Das Cauchy-Produkt zweier Reiken Seien \( \sum \limits_{n \geqslant 0} a_{n} k \sum \limits_{n \geqslant 0} b_{n} \) zwei Reihen, so ist die Reihe \( \lim c_{n}=\sum \limits_{n \geqslant 0} c_{n} \) mit \( c_{n}=\sum \limits_{k=0}^{n} a_{k} b_{n-k} \) das Cauchy-Produkt.

Gegeben ist \( \sum \limits_{n \geqslant 0} \frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n+1}}=\sum a_{n}=\sum b_{n} \)

Aufgabe:

a) ist egal

b) Ich sollte davon das Cauchy-Produkt bilden

Hab ich gemacht:

b) Bestimme das Cauchy-Produkt von \( \sum \limits_{n \geqslant 0} a_{n} \& \sum \limits_{n \geqslant 0} b_{n} \)

Es gilt:

\( c_{n}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{k+1}}{\sqrt{k+1}} \frac{(-1)^{n-k-1}}{\sqrt{n-k+1}}=\sum \limits_{k=1}^{n} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt{(k+1)(n+k+1)}} . \)

Nun ist mein Problem bei c) mit

c) Ich sollte dieses nach Konvergenz untersuchen, aber davor beweisen das die Abschätzung

(k + 1)(n − k + 1) ≤ 1/4 (n + 2)^2 wobei n ∈ N und 0 ≤ i ≤ n, zeigen.

Ich würde mich auf eine Hilfe freuen.

Comments

Schau mal hier.

Answer 1

Aloha :)

Dein Cauchy-Produkt stimmt soweit, nur dass es beim Index Null beginnen sollte:$$c_n=\sum\limits_{k=0}^n\frac{(-1)^n}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}$$

Zum Beweis der Ungleichung, die du vorher zeigen sollst:$$\small0\le\left(\sqrt{k+1}-\sqrt{n-k+1}\right)^2=(\sqrt{k+1})^2-2\sqrt{k+1}\cdot\sqrt{n-k+1}+(\sqrt{n-k+1})^2$$$$\small\phantom0=(k+1)-2\sqrt{(k+1)(n-k+1)}+(n-k+1)=n+2-2\sqrt{(k+1)(n-k+1)}$$Das umgestellt liefert:$$2\sqrt{(k+1)(n-k+1)}\le n+2$$Das entspricht dem, was du vorab zeigen sollst.

Für die \(c_n\) bedeutet dies:$$|c_n|=\left|\sum\limits_{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\right|\ge\sum\limits_{k=0}^n\frac{2}{n+2}=\frac{2(n+1)}{n+2}\ge1$$

Die \(|c_n|\) bilden also keine Nullfolge, daher divergiert die Summe.

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Danke sehr! :)