Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an der Kugel im Berührpunkt P(4|5|x3),

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an der Kugel im Berührpunkt P(4|5|x₃),

x₃ > 2

K: [ Vektor x - (6|3|2) ]² = 9

E: -x₁ + 2x₂ + 2x₃ = 10

Problem/Ansatz:

Mein Lehrer meinte, dass man die Tangentialebene so aufstellt:

Vektor MP * (Vektor x - Vektor P)

Muss ich jetzt einfach nur den Vektor MP berechnen indem ich B - M rechne und daraufhin den Mittelpunkt und den Punkt P einsetze oder wäre das der falsche Ansatz?

Answer 1

Mein Lehrer meinte, dass man die Tangentialebene so aufstellt:
Vektor MP * (Vektor x - Vektor P)

Fast. Das ist ja keine Gleichung.

Der Vektor \( \overrightarrow{MP} \) verbindet den Mittelpunkt der Kugel mit dem Berührpunkt. Dieser Vektor steht senkrecht auf der Tangentialebene und ist daher ein Normalenvektor.

Der Vektor \( \overrightarrow{PX} = \vec{x} - \vec{p} \) ist der Vektor vom Berührpunkt zu einem beliebigen Punkt \( X \) der Tangentialebene.

Dieser Vektor muss orthogonal zum Normalenvektor sein. Daher ist deren Skalarprodukt 0. Damit ist die Gleichung \( \overrightarrow{MP} \cdot \overrightarrow{PX} =0 \) eine Gleichung (Normalengleichung) der Tangentialebene.

Du musst also nur \( \overrightarrow{MP} \) berechnen und \( P \) einsetzen. Mit \( \overrightarrow{MP}\cdot \vec{x} = \overrightarrow{MP} \cdot \vec{p} \) erhältst du eine Koordinatengleichung, wenn gewünscht.