Question

Wie kann ich den Bruch x / x² + 1 kürzen, so dass ich auf 1 / x + 1 komme?

So steht es zumindest in meinen Lösungen. Allerdings kann ich mir nicht erklären, wieso das so sein soll. Summen sollten man doch in Brüchen niemals kürzen (gab sogar ein Sprichwort dafür..)

Selbst mein TR (TI-Nspire CX CAS) zeigt mir bei obiger Umformung ein gelbes Warndreieck an.

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Das von Dir erwähnte Sprichwort

Aus Differenzen und Summen
kürzen nur die Dummen.
Faktoren kürzen das ist brav,
wer Summen kürzt der ist ein Schaf.

steht der genannten Lösung nicht entgegen.

Denn man kürzt ja den Bruch $\frac{x}{x^2}$ und nicht aus einer Summe.

Answer 1

$\displaystyle \frac{x}{x^2} + 1 = \frac{x}{x} \cdot \frac{1}{x}+1= 1 \cdot \frac{1}{x}+1= \frac{1}{x}+1$

Comments

Ah interessant, darauf wäre ich so gar nicht gekommen, danke!

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Man kommt leichter darauf, wenn man sich nicht von einem GTR (mit CAS und gelbem Warndreieck, tiefergelegt, Carbonfelgen) ablenken lassen würde.

Answer 2

Beim 1. Summanden im Zähler und Nenner mit x kürzen:

(x/x)/(x²/x)=  1/x

x ist der ggT von Zähler und Nenner.

oder mit Potenzgesetzen:

a^m/aⁿ = a^(m-n):

x/x²= x¹/x²= x^(1-2) = x^-1 = 1/x