Wie untersuche ich Matrizen auf Eigenschaften wie Drehung, Spiegelung und Projektion?

Question

Aufgabe:

Hey,

ich habe ein Problem, bei der Erkennung, ob eine Matrix eine Spiegelung, Drehung, Projektion oder gar nichts von all dem darstellt.

Oft wird man mit solchen Aufgaben im Multiple-Choice Teil konfrontiert. Als Beispiel habe ich nun die Matrix A=

1/2	0
0	2

gegeben und soll nun sagen ob A eine Spiegelung, Drehmatrix oder Projektion ist. (oder gar nichts von all dem)

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass für eine Projektion P²= P gelten muss,

Für eine Spiegelung S² = E, S=2P-E

Jedoch ist es mir unklar, wie ich damit auf ein schnelles Ergebnis bzw. überhaupt auf ein Ergebnis kommen soll.

Answer 1

Aloha :)

Für einen ersten Eindruck kannst du dir überlegen, was die Matrix mit den kanonischen Basisvektoren macht:$$A\cdot\binom{1}{0}=\begin{pmatrix}\frac12 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\binom{1}{0}=\binom{\frac12}{0}\implies A^n\binom{1}{0}=\binom{\frac{1}{2^n}}{0}$$$$A\cdot\binom{0}{1}=\begin{pmatrix}\frac12 & 0\\0 & 2\end{pmatrix}\cdot\binom{0}{1}=\binom{0}{2}\implies A^n\binom{0}{1}=\binom{0}{2^n}$$

Die Matrix führt also in $x_1$-Richtung eine Skalierung mit dem Faktor $\frac12$ durch und in $x_2$-Richtung eine Skalierung mit dem Faktor $2$.

Es wird nicht gedreht, nicht gespiegelt und auch nicht projeziert.

Comments

Vielen Dank für die Antwort! Wie müssten aber die Ergebnisse aussehen, damit die Matrix eine der Eigenschaften besitzt?

Answer 2

Hallo,

Wie müssten aber die Ergebnisse aussehen, damit die Matrix eine der Eigenschaften besitzt?

schnitz' Dir doch welche! Nehmen wir z.B. $$\begin{pmatrix}0,5& -0,5\sqrt{3}\\ 0,5\sqrt{3}& 0,5\end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix}0,5& -0,866025404\\ 0,866025404& 0,5\end{pmatrix}$$Das Skalarprodukt der beiden Spaltenvektoren ist $=0$. Das sieht man auch ohne es auszurechnen.

Die Determinante der Matrix ist $=1$. Dann kann es nur eine Drehung sein. In diesem Fall um 60°.

Wäre die Determinante $\det=-1$ so wie hier$$\begin{pmatrix}-0,5& 0,5\sqrt{3}\\ 0,5\sqrt{3}& 0,5\end{pmatrix}$$dann ist es eine Spiegelung. Bei immer noch orthogonal auf einander stehenden Spaltenvektoren.

Die Determinante einer Projektionsmatrix$$\det\left|\begin{pmatrix}0.8& -0.4\\ -0.4& 0.2\end{pmatrix}\right|=0$$ist 0. Kann man z.B. auch dadurch sehen, dass einer der Spaltenvektoren ein Vielfaches des anderen ist (hier das $-0,5$-fache).

Dreh- und Projektionsmatrizen müssen auch noch symmetrisch sein.

Siehe auch Orthogonale Matrizen.

Oben gesagtes betrifft reine Drehungen und Spiegelungen. Natürlich sind auch Kombinationen möglich. Ist die Determinate $\lt 0$ hat die Matrix immer eine spiegelnde Komponente.

Gruß Werner