Bestimme ohne den Einsatz digitaler Werkzeuge x - y.

Question

Gegeben sind die Gleichungen (1) \( \sqrt[3]{x} \)-\( \sqrt[3]{y} \)=3 und (2) x·y=8. Bestimme ohne den Einsatz digitaler Werkzeuge x - y.

Answer 1

Beide Seiten hoch 3:

 \( x-3\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{xy} +3\sqrt[3]{y}\sqrt[3]{xy} -y =27\)

\( x-3\sqrt[3]{x}\cdot 2 +3\sqrt[3]{y}\cdot 2 -y =27\)

\( x-6\sqrt[3]{x} +6\sqrt[3]{y} -y =27\)

\( x-6(\sqrt[3]{x} -\sqrt[3]{y}) -y =27\)

\( x-6\cdot 3 -y =27\)

\( x -y =45\)

Die Bedingung xy=8 wurde hierbei nicht verwendet.

Comments

"Die Bedingung xy=8 wurde hierbei nicht verwendet."

Wie kommst du denn ohne diese Bedingung von deiner ersten in deine zweite Zeile?

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Mit der Bedingung. ;)

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Ach ja, hatte diese Kleinigkeit am Ende glatt wieder vergessen.

Der hässlichere Weg wäre übrigens gewesen, diese Bedingung sofort zu verwenden und über y=8/x die Gleichung  \( \sqrt[3]{x} - \sqrt[3]{y} =3\) in

\( \sqrt[3]{x} - \frac{2}{\sqrt[3]{x}} =3\) umzuformen, nach Substitution z= \( \sqrt[3]{x} \) die quadratische Gleichung z - 2/z = 3 zu lösen ...

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Ok, jeder vergisst mal etwas. Aber mit der Auszeichnung deiner Antwort als 'Beste' wird es nun nichts mehr.

Answer 2

Hier noch ein Weg via

\(a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)\) mit

\(a = \sqrt[3]x\) und \(b=\sqrt[3] y\):

$$x-y = 3(a^2 + 2 + b^2) \quad (1)$$

Wir brauchen also \(a^2+b^2\):

$$3^2 = a^2 -4 + b^2\Rightarrow a^2+b^2 = 13\quad (2)$$

(1) & (2) zusammen ergibt:

$$x-y = 3(13+2) = 45$$

Comments

Offenbar ein eleganter Rechenweg, der allerdings in den mit (1) und (2) gekennzeichneten Zeilen nicht leicht nachvollziehbar ist.

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In (1) werden doch lediglich die Voraussetzungen eingesetzt...