Mehrere Möglichkeiten. Nur um nochmal sicher zu gehen, es geht um K(n)∈MatR(n,n), definiert durch K(n)i,j=1 für alle i,j∈[1 : n]?
- K(n) ist für alle n eine symmetrische reelle Matrix.
- K(n) hat für alle n ein Bild mit Dimension 1, eine diagonalisierende Basis besteht also aus einem Nichtnullvektor des Bildes (die Matrix auf so einen Vektor angewendet landet ja wieder auf der selben Geraden) sowie einer Basis des Kerns.
- Das charakteristische Polynom von K(n) ist per vollständiger Induktion (Laplacescher Entwicklungssatz) einfach nur χ(K(n))(λ)=(−1)n(λn−nλn−1)=(−1)nλn−1(λ−n), zerfällt also in Linearfaktoren. [EDIT: Das reicht nicht vollständig für Diagonalisierbarkeit, man braucht noch eine Kleinigkeit zusätzlich, z.B. dass die Matrix Rang 1 haben muss und daher nur einen nichttrivialen Jordanblock.]