Wie sieht man fast sofort, dass eine nxn-Matrix, die nur Koeffizienten 1 besteht, diagonalisierbar ist?

Question

Wie sieht man fast sofort, dass eine n×n-Matrix, die nur Koeffizienten 1 besteht, diagonalisierbar ist?

Problem/Ansatz: Ich bin gerade in der Wiederholung von LinA 1 und finde dazu keine Lösung. Mein erster Gedanke wäre das charakteristische Polynom auszurechnen, aber wie soll ich das machen bei einer n×n-Matrix?

Comments

Alle reellen symmetrische Matrizen sind diagonalisierbar.

---

Danke, aber das ist schon mehr Lina 2 Stoff, kann man das auch nur mit Lina 1 lösen?

---

Falls \(n>1\) ist: Offenbar sind \(0\) und \(n\) Eigenwerte und es ist \(\dim\operatorname{Eig}(A,0)=n-1\).

Answer 1

Mehrere Möglichkeiten. Nur um nochmal sicher zu gehen, es geht um \(K(n)\in\mathrm{Mat}_\mathbb{R}(n,n)\), definiert durch \(K(n)_{i,j}=1\) für alle \(i,j\in[1:n]\)?

1. \(K(n)\) ist für alle \(n\) eine symmetrische reelle Matrix.
2. \(K(n)\) hat für alle \(n\) ein Bild mit Dimension \(1\), eine diagonalisierende Basis besteht also aus einem Nichtnullvektor des Bildes (die Matrix auf so einen Vektor angewendet landet ja wieder auf der selben Geraden) sowie einer Basis des Kerns.
3. Das charakteristische Polynom von \(K(n)\) ist per vollständiger Induktion (Laplacescher Entwicklungssatz) einfach nur \(\chi(K(n))(\lambda)=(-1)^n(\lambda^n-n\lambda^{n-1})=(-1)^n\lambda^{n-1}(\lambda-n)\), zerfällt also in Linearfaktoren. [EDIT: Das reicht nicht vollständig für Diagonalisierbarkeit, man braucht noch eine Kleinigkeit zusätzlich, z.B. dass die Matrix Rang 1 haben muss und daher nur einen nichttrivialen Jordanblock.]