Aussagen über Winkelfunktionen

Question

Aufgabe: Winkelfunktionen

Problem/Ansatz: Stimmen diese beide Aussagen?

1. sin(x+(pi/2))= cos(x)

und 2. sin(x-(3pi/2)) = cos(x)

und wie kann man sin(x) zu cosinus unwandeln?

Answer 1

Aloha :)

zu 1) Die co-Funktionen haben ihren Namen daher, dass man im rechtwinkligen Dreieck vom Winkel $\alpha$ zum complementären Winkel $(90^\circ-\alpha)$ übergeht, das ist der andere nicht-rechte Winkel. Übertragen auf das Bogenmaß heißt das:$$\cos\left(\frac\pi2-x\right)=\sin(x)$$$$\sin\left(\frac\pi2-x\right)=\cos(x)$$$$\tan\left(\frac\pi2-x\right)=\cot(x)$$$$\cot\left(\frac\pi2-x\right)=\tan(x)$$

Zustäzlich sind alle Winkelfunktionen, außer dem Cosinus, punktsymmetrisch:$$\sin(-x)=-\sin(x)\quad;\quad\tan(-x)=-\tan(x)\quad;\quad\cot(-x)=-\cot(x)$$Der Ausreißer ist die Cosinus-Funktion, denn sie ist achsensymmetrisch:$$\cos(-x)=\pink+\cos(x)$$

Damit kannst du dir nun Folgendes überlegen:$$\sin\left(x+\frac\pi2\right)=\cos\left(\frac\pi2-\left(x+\frac\pi2\right)\right)=\cos(-x)=\cos(x)\quad\checkmark$$

zu 2) Die Winkelfunktionen Sinus und Cosinus sind $2\pi$-periodisch, das heißt, du kannst zum Argument beliebig oft $2\pi$ addieren oder suttrahieren, ohne dass sich der Wert ändert:$$\cos(x+\mathbb Z\cdot2\pi)=\cos(x)\quad;\quad \sin(x+\mathbb Z\cdot2\pi)=\sin(x)$$[Achtung: Tangens und Cotangens haben die Periode $\pi$, nicht $2\pi$.]

Damit ist klar:$$\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}\right)=\sin\left(x-\frac{3\pi}{2}+2\pi\right)=\sin\left(x+\frac\pi2\right)\stackrel{(1)}{=}\cos(x)\quad\checkmark$$

Answer 2

Setze Werte für x ein, z.B. x= pi/2.

https://simpleclub.com/lessons/mathematik-sinus--und-kosinusfunktion…

Comments

Setze Werte für x ein, z.B. x= pi/2.

Die Übereinstimmung bei 2, 3, 4 oder 73  Einzelwerten ist kein Beweis für die Allgemeingültigkeit.

Answer 3

...
und wie kann man sin(x) zu cos(x) umwandeln?

Trigonometrischer Pythagoras:

$sin^2(x)+cos^2(x)=1$

$cos^2(x)=1-sin^2(x) |±\sqrt{~~}$

$cos(x)=±\sqrt{1-sin^2(x)}$