Question

Benuze Potenzgesetze so, dass du gleiche Exponenten erhältst und löse die Gleichung.

\( 2^{x}+2^{x+1}+2^{x + 2}=3^{x}+3^{x+1}+3^{x+2} \)

Wie muss man bei dieser Aufgabe vorgehen, um zum Ergebnis zu kommen?

Answer 1

2 ^x + 2  ^{x + 1} + 2 ^{x + 2} = 3 ^x + 3  ^{x + 1} + 3 ^{x + 2}

<=> 2 ^x + 2 * 2  ^x  + 2 * 2 * 2 ^x = 3 ^x + 3 * 3  ^x + 3 * 3 * 3 ^x

Ausklammern von 2 ^x auf der linken bzw. 3 ^x auf der rechten Seite:

<=> 2 ^x * ( 1 + 2 + 4 ) = 3 ^x * ( 1 + 3 + 9 )

<=> ( 2 ^x  / 3 ^x ) = ( 1 + 3 + 9 ) / ( 1 + 2 + 4 ) = 13 / 7

<=> ( 2 / 3 ) ^x = 13 / 7

<=> log ( ( 2 / 3 ) ^x ) = log ( 13 / 7 )

<=> x * log ( 2 / 3 ) = log ( 13 / 7 )

<=> x = log ( 13 / 7 ) / log ( 2 / 3 )

<=> x = - 1,526738...

Answer 2

es ist  a^x+y = a^x·a^y. Klammere links  2^x  und rechts  3^x  aus.
2^x·(2⁰ + 2¹ + 2²) = 3^x·(3⁰ + 3¹ + 3²).
7·2^x = 13·3^x.
7/13 = (3/2)^x.
x ≈ -1.5267385.