Ermittle die Schnittgerade von E mit der x1-x2- Ebene.

Question

Aufgabe:

Ermittle die Schnittgerade von E mit der x₁-x₂- Ebene.

Problem/Ansatz:

x₁+x₂+10·x₃+200=0

Kann mir jemand erklären wie man das macht und auf was man achten muss?

Danke

Comments

https://abiturma.de/mathe-lernen/geometrie/lagebeziehungen-und-schnitt/schnitt-ebene-ebene

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Kannst De denn eine Ebenengleichung für die x1-x2-Ebene aufstellen?

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Nicht wirklich

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Na dann schau Die das Video an

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Ich brauch die Schnittgerade nicht die Parametergleichung. Deswegen versteh ich nicht wie ich sie aufstellen soll.

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Zu jeder Ebene gibt es Parametergleichungen, Normalenformen und Koordinatenformen. Bevor du eine Gleichung einer Schnittgerade zweier Ebenen finden kannst, musst du wissen, wie man diese Formen der Ebenengleichung ineinander verwandelt.

Answer 1

Aloha :)

In der \(x_1x_2\)-Ebene ist die \(x_3\)-Koordinate immer gleich \(0\).

Punkte \(P(x_1;x_2;x_3)\) auf der Schnittgeraden, liegen sowohl auf der Ebene \(E\) als auch in der \(x_1x_2\)-Ebene. Sie müssen daher zwei Bedingungen erfüllen:$$\underbrace{x_1+x_2+10x_3+200=0}_{\text{Punkt liegt in E}}\quad;\quad \underbrace{\pink{x_3=0}}_{\text{Punkt liegt in \(x_1x_2\)-Ebene}}$$

Wir setzen \(x_3=0\) in die erste Gleichung ein$$x_1+x_2+200=0$$und stellen das Ergebnis nach einer der Koordinaten um, wir wählen dazu \(x_2\):$$\pink{x_2=-200-x_1}$$

Nun können wir die Schnittgerade \(g\) angeben:$$g\colon\vec x=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{x_2}\\\pink{x_3}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\\pink{-200-x_1}\\\pink0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-200\\0\end{pmatrix}+x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\quad;\quad x_1\in\mathbb R$$

Da an die Koordinate \(x_1\) keine Bedingungen gestellt sind, kannst du an ihrer Stelle jede belibeige Zahl \(x_1\in\mathbb R\) einsetzen.

Comments

Warum muss ich dann bei x 2 eine -1 einsetzen?

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Nachdem du \(\pink{x_3=0}\) und \(\pink{x_2=-200-x_1}\) eingesetzt hast:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1\\-200-x_1\\0\end{pmatrix}$$kannst du die rechte Seite in einen konstanten und einen variablen Vektor aufteilen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-200\\0\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x_1\\-x_1\\0\end{pmatrix}$$Dann kannst du aus dem variablen Vektor die eigentlich varibale Größe \(x_1\) als Faktor vor den Vektor ziehen:$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-200\\0\end{pmatrix}+x_1\cdot\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}$$Dabei bleibt bei der zweiten Komponente die \((-1)\) übrig.