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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die x1 / x2 Ebene.

Die gegebenen Punkte sind A(1|-1|2), B(2|1|8) und C(-1|-2|2)


Problem/Ansatz:

Meine Koordinatengleichung beträgt 6x1 -12x2 + 3x3  =24

Ich habe gedacht, dass ich nun so weiterrechne:

Der Normalenvektor für x1/x2 ist \( \begin{pmatrix} 0\\0\\8 \end{pmatrix} \) , also

cos(alpha) = \( \frac{6×0 -12×0 +3×8}{\sqrt{x}×\sqrt{x}} \) 

Ich weiß leider nicht welche Wurzeln unter den Bruch gehören, außerdem bin ich mir bei der Sache mit dem Normalenvektor nicht sicher.


Liebe Grüße

Hiyori

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Im Nenner √(6^2 + 12^2 + 3^2) *√(0^2 + 0^2+8^2)

von 271 k 🚀

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Einen Normalenvektor auf der x1x2-Ebene hast du schon gefunden und einen Vektor senkrecht auf E ebenfalls. Deren Beträge sind 8 und √189.

Der gesuchte Winkel α berechnet sich dann als cos(α)=\( \frac{24}{8·√189} \)=\( \frac{1}{√21} \) .

von 113 k 🚀

Das ist nett. Dankeschön!

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Hallo,

Meine Koordinatengleichung beträgt 6x1 -12x2 + 3x3  =24

die darfst Du ruhig nochmal durch3 dividieren ... $$E: \space 2x_1 - 4x_2 + x_3 = 8$$... dann werden die Zahlen etwas handlicher.

Der Normalenvektor für x1/x2 ist \(\begin{pmatrix} 0\\0\\ 8 \end{pmatrix}\), also ...

auch hier reicht ein Vektor der Länge 1 - die Länge spielt aber keine Rolle. Also: $$e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \quad |e_z| = 1$$

Ich weiß leider nicht welche Wurzeln unter den Bruch gehören, ...

Unter den Bruch gehören die Beträge (also die Längen) der Vektoren. Allgemein gilt für zwei Vektoren \(n\) und \(e_z\) die den Winkel \(\alpha\) einschließen:$$\cos(\alpha) = \frac {n \cdot e_z}{|n| \cdot |e_z|}$$Aus der Koordinatengleichung oben folgt$$n = \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}, \quad \implies |n| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21}$$in diesem Fall wird dann$$\cos(\alpha) = \frac{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}}{1 \cdot \sqrt{21} } = \frac 1{\sqrt{21}} \quad \implies \alpha \approx 77,4°$$Das sieht so aus:

            blob.png

\(\alpha\) ist der Winkel zwischen dem schwarzen Vektor \(n\) und der Z-Achse (rot). Klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D.

von 45 k

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