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Aufgabe:

Bestimmen Sie den Neigungswinkel der Ebene E gegen die x1 / x2 Ebene.

Die gegebenen Punkte sind A(1|-1|2), B(2|1|8) und C(-1|-2|2)


Problem/Ansatz:

Meine Koordinatengleichung beträgt 6x1 -12x2 + 3x3  =24

Ich habe gedacht, dass ich nun so weiterrechne:

Der Normalenvektor für x1/x2 ist \( \begin{pmatrix} 0\\0\\8 \end{pmatrix} \) , also

cos(alpha) = \( \frac{6×0 -12×0 +3×8}{\sqrt{x}×\sqrt{x}} \) 

Ich weiß leider nicht welche Wurzeln unter den Bruch gehören, außerdem bin ich mir bei der Sache mit dem Normalenvektor nicht sicher.


Ich bedanke mich im Voraus.

Liebe Grüße

Hiyori

von

3 Antworten

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Beste Antwort

Im Nenner √(6^2 + 12^2 + 3^2) *√(0^2 + 0^2+8^2)

von 228 k 🚀

Danke für die Antwort!

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Einen Normalenvektor auf der x1x2-Ebene hast du schon gefunden und einen Vektor senkrecht auf E ebenfalls. Deren Beträge sind 8 und √189.

Der gesuchte Winkel α berechnet sich dann als cos(α)=\( \frac{24}{8·√189} \)=\( \frac{1}{√21} \) .

von 103 k 🚀

Das ist nett. Dankeschön!

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Hallo,

Meine Koordinatengleichung beträgt 6x1 -12x2 + 3x3  =24

die darfst Du ruhig nochmal durch3 dividieren ... $$E: \space 2x_1 - 4x_2 + x_3 = 8$$... dann werden die Zahlen etwas handlicher.

Der Normalenvektor für x1/x2 ist \(\begin{pmatrix} 0\\0\\ 8 \end{pmatrix}\), also ...

auch hier reicht ein Vektor der Länge 1 - die Länge spielt aber keine Rolle. Also: $$e_z = \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}, \quad |e_z| = 1$$

Ich weiß leider nicht welche Wurzeln unter den Bruch gehören, ...

Unter den Bruch gehören die Beträge (also die Längen) der Vektoren. Allgemein gilt für zwei Vektoren \(n\) und \(e_z\) die den Winkel \(\alpha\) einschließen:$$\cos(\alpha) = \frac {n \cdot e_z}{|n| \cdot |e_z|}$$Aus der Koordinatengleichung oben folgt$$n = \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}, \quad \implies |n| = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 1^2} = \sqrt{21}$$in diesem Fall wird dann$$\cos(\alpha) = \frac{ \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2\\ -4\\ 1\end{pmatrix}}{1 \cdot \sqrt{21} } = \frac 1{\sqrt{21}} \quad \implies \alpha \approx 77,4°$$Das sieht so aus:

            blob.png

\(\alpha\) ist der Winkel zwischen dem schwarzen Vektor \(n\) und der Z-Achse (rot). Klick auf das Bild, dann öffnet sich die Szene im Geoknecht3D.

von 37 k

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