Wann schreibe ich Vektoren als Spalten oder Zeilen in eine Matrix?

Question

Aufgabe:

\( \text { Sei } A=\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ i & i \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2, \mathbb{C}) \text { und } F: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2}, v \mapsto A v \text {. } \)

1. Zeigen Sie, dass \( B=((1,2 i),(-i, 1+i)) \) eine Basis von \( \mathbb{C}^{2} \) ist.

2. Bestimmen Sie \( M_{B}(F) \).

Hallo, Frage bezieht sich nicht auf die Aufgabenstellung, da ich bereits weiß ich ich diese löse allerdings verstehe ich nicht wann ich Vektoren als Zeilen- oder Spaltenvektoren in eine Matrix eintrage.

Wenn ich z.b eine Basis vom kern mit der Dimension 1 zu einer Basis mit dim 3 ergänzen soll schreibe ich den Basisvektor ja als Zeilenvektor und ergänze z.B  mit e2 und e3, ebanfalls als Zeilenvektor und diese sind dann in ZSF also l.u.

Wie schreibe ich sie bei Aufgabe 1 und warum? Und um an MB(f) zu kommen benötige ich ja die gleichen Basisvektoren von 1. Schreibe ich diese dann als Zeilen oder Spalten in die Matrix und warum?

Comments

In der Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung zur Basis B stehen die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren in den Spalten. Der Grund ist, weil man möchte, dass sich das Produkt gf von Abbildungen als Darstellungsmatrix das Produkt der Darstellungsmatrizen hat.

Answer 1

Damit die Definition \(  F: \mathbb{C}^{2} \rightarrow \mathbb{C}^{2}, v \mapsto A v \)

Sinn macht, muss ja v als Spaltenvektor geschrieben werden, für Zeilenvektoren

hätte es ja vA heißen müssen.

Also sind die Basiselemente von \( B=((1,2 i),(-i, 1+i)) \) auch als Spalten gemeint.

Und für \( M_{B}(F) \) musst du also die Bilder dieser Basiselemente wieder

mit dieser Basis darstellen. Da wäre also zu bestimmen

\( F\left( \begin{array}{cc}  1 \\ 2i \end{array}\right)=  A\cdot \left( \begin{array}{cc}  1 \\ 2i \end{array}\right) =\left(\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ i & i \end{array}\right) \cdot \left( \begin{array}{cc}  1 \\ 2i \end{array}\right) =  \left( \begin{array}{cc}  2i \\ -2+i \end{array}\right) \)

und dann gilt

\(   \left( \begin{array}{cc}  2i \\ -2+i \end{array}\right)= (1,5+1,5i) \cdot \left( \begin{array}{cc}  1 \\ 2i \end{array}\right) +(-0,5-1,5i) \left( \begin{array}{cc}  -i \\ 1+i \end{array}\right)   \)

Damit hast du die erste Spalte der gesuchten Matrix:

\(  \left( \begin{array}{cc} 1,5+1,5i &    ? \\ -0,5-1,5i   &     ? \end{array}\right) \)

Entsprechend bekommst du mit dem Bild des 2. Basisvektors die 2. Spalte.