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Aufgabe:

Sei A eine Matrix mit den Zeilen zi und den Spalten sj. Zeige, dass
(i) das ij-te Element von AA*durch ⟨ zi , zj ⟩
(ii) das ij-te Element von A*A durch ⟨ sj , si ⟩ dargestellt wird.


Problem/Ansatz:

A= \( \begin{pmatrix} a11 & ... & a1n \\ ... & ... & ... \\ an1 & ... & ann \end{pmatrix} \)

z1 = (a11, .... a1n)   bis    zi = (an1, ... ann)

s1 = (a11, .... an1)    bis   sj = (a1n, .... ann)

Wobei z die Zeilen und s die Spalten sind.

AA* = \( \begin{pmatrix} a11 & ... & a1n \\ ... & ... & ... \\ an1 & ... & ann \end{pmatrix} \) • A*

wobei A* die komplex konjugierte Matrix darstellt.


Meine Frage:

Wie kann ich hierbei voran gehen bzw. wie komme ich weiter?


DANKE!

von

1 Antwort

+2 Daumen

Ich denke mal, dass A* die adjungierte Matrix ist,

also A transponiert und konjugiert.

Und für das ij-te Element A*A* brauchst du ja immer:

i-te Zeile von A mal j-te Spalte von A* .


Nun sind ja die Spalten von A* die  konjugierten Zeilen von

A, also hast du immer

zi * zj_konjugiert und das ist ja gerade  ⟨ zi , zj ⟩.

siehe etwa bei:


https://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Standardskalarprodukt_im_Rn_und_im_Cn

von 168 k

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