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Aufgabe:

Seien K K ein endlicher Körper, a,bK a, b \in K und f=(x2a)(x2b)K[x] f=\left(x^{2}-a\right)\left(x^{2}-b\right) \in K[x] . Sei E E der Zerfällungskörper von f f über K K .

Berechnen Sie, in Abhängigkeit von a,b,K a, b, K den Grad[E : K] \operatorname{Grad}[E: K] .



Problem/Ansatz:

Die Nullstellen sind ja +a+-\sqrt{a} und +b+-\sqrt{b}. aber wie mache ich das jetzt?

K soll ja endlich sein. Aber das macht für mich nicht viel Sinn.

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Da musst du wohl Fallunterscheidungen treffen.

So gilt wohl für jedes K:

Wenn a=b=0 ist, dann ist E=K also Grad[E : K]=1 \operatorname{Grad}[E: K] =1 .

etc.

Ja genau. Aber für welche K. Oder ist das K egal? Mir ist nämlich keine Unterscheidung über ein endliches K eingefallen.

Aber vielen Dank :)

Für a=b=0 gilt das wohl für jedes K.

Achso ja das dachte ich mir. Nur meine weiteren Überlegungen, waren nie so, dass ich ein anderes K hatte. Bis auf F_p Galois Körper.

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