Aufgabe:
Text erkannt:
c) Sei f : R3→R3,f(x,y,z) : =(y2−zsin(z)exex+cos(z).) f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x, y, z):=\left(\begin{array}{c}y^{2}-z \\ \sin (z) e^{x} \\ e^{x+\cos (z)} .\end{array}\right) f : R3→R3,f(x,y,z) : =⎝⎛y2−zsin(z)exex+cos(z).⎠⎞. Berechnen Sie die Funktionalmatrix Jf(x,y,z) J_{f}(x, y, z) Jf(x,y,z).
Problem/Ansatz:
f(x)=sin (z)*ex ; -sin(z)*ex+cos(z)
f(y)= 2y
f(z)= cos(1)*ex; -sin(1)*ex+cos(z)
Problem/Ansatz:f(x)=sin (z)*ex ; -sin(z)*ex+cos(z)f(y)= 2yf(z)= cos(1)*ex; -sin(1)*ex+cos(z)
Es ist leider unklar, was du damit sagen willst.
Berechne jeweils die Ableitung nach xxx, yyy und zzz. Für die Ableitungen nach xxx ergeben sich bspw:
(0sin(z)exex+cos(z))\begin{pmatrix} 0\\ \sin(z)\mathrm{e}^x\\ \mathrm{e}^{x+\cos(z)}\end{pmatrix}⎝⎛0sin(z)exex+cos(z)⎠⎞
Das liefert dir die erste Spalte der Jacobi-Matrix.
Aloha :)
Du möchtest / sollst von der Funktionf(x;y;z)=(f1(x;y;z)f2(x;y;z)f3(x;y;z))=(y2−zsin(z)exex+cos(z))f(x;y;z)=\begin{pmatrix}f_1(x;y;z)\\f_2(x;y;z)\\f_3(x;y;z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y^2-z\\\sin(z)e^x\\e^{x+\cos(z)}\end{pmatrix}f(x;y;z)=⎝⎛f1(x;y;z)f2(x;y;z)f3(x;y;z)⎠⎞=⎝⎛y2−zsin(z)exex+cos(z)⎠⎞die Funktionalmatrix Jf(x;y;z)J_f(x;y;z)Jf(x;y;z) bestimmen. Diese Matrix enthält die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilenvektoren:Jf(x;y;z)=(gradf1(x;y;z)gradf2(x;y;z)gradf3(x;y;z))J_f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}f_1(x;y;z)\\\operatorname{grad}f_2(x;y;z)\\\operatorname{grad}f_3(x;y;z)\end{pmatrix}Jf(x;y;z)=⎝⎛gradf1(x;y;z)gradf2(x;y;z)gradf3(x;y;z)⎠⎞
Du berechnest also:gradf1(x;y;z)=(∂∂x(y2−z)∂∂y(y2−z)∂∂z(y2−z))=(02y−1)\operatorname{grad}f_1(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}(y^2-z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}(y^2-z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}(y^2-z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2y\\-1\end{pmatrix}gradf1(x;y;z)=⎝⎜⎜⎛∂x∂(y2−z)∂y∂(y2−z)∂z∂(y2−z)⎠⎟⎟⎞=⎝⎛02y−1⎠⎞gradf2(x;y;z)=(∂∂x(sin(z)ex)∂∂y(sin(z)ex)∂∂z(sin(z)ex))=(sin(z)ex0cos(z)ex)\operatorname{grad}f_2(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(z)e^x\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(\sin(z)e^x\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\left(\sin(z)e^x\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(z)e^x\\0\\\cos(z)e^x\end{pmatrix}gradf2(x;y;z)=⎝⎜⎜⎛∂x∂(sin(z)ex)∂y∂(sin(z)ex)∂z∂(sin(z)ex)⎠⎟⎟⎞=⎝⎛sin(z)ex0cos(z)ex⎠⎞gradf3(x;y;z)=(∂∂x(ex+cos(z))∂∂y(ex+cos(z))∂∂z(ex+cos(z)))=((ex+cos(z))⋅10(ex+cos(z))⋅(−sin(z)))\operatorname{grad}f_3(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\cdot1\\0\\\left(e^{x+\cos(z)}\right)\cdot(-\sin(z))\end{pmatrix}gradf3(x;y;z)=⎝⎜⎜⎛∂x∂(ex+cos(z))∂y∂(ex+cos(z))∂z∂(ex+cos(z))⎠⎟⎟⎞=⎝⎛(ex+cos(z))⋅10(ex+cos(z))⋅(−sin(z))⎠⎞[Beim letzten Gradienten kam die Kettenregel zum Einsatz.]
Nun schreibst du die Gradienten als Zeilenvektoren in eine Matrix:Jf(x;y;z)=(02y−1sin(z)ex0cos(z)exex+cos(z)0−sin(z)ex+cos(z))J_f(x;y;z)=\left(\begin{array}{c}0 & 2y & -1\\[1ex]\sin(z)e^x & 0 & \cos(z)e^x\\[1ex]e^{x+\cos(z)} & 0 & -\sin(z)e^{x+\cos(z)}\end{array}\right)Jf(x;y;z)=⎝⎜⎜⎛0sin(z)exex+cos(z)2y00−1cos(z)ex−sin(z)ex+cos(z)⎠⎟⎟⎞
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos