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Aufgabe:

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c) Sei f : R3R3,f(x,y,z) : =(y2zsin(z)exex+cos(z).) f: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3}, f(x, y, z):=\left(\begin{array}{c}y^{2}-z \\ \sin (z) e^{x} \\ e^{x+\cos (z)} .\end{array}\right) . Berechnen Sie die Funktionalmatrix Jf(x,y,z) J_{f}(x, y, z) .



Problem/Ansatz:

f(x)=sin (z)*ex ; -sin(z)*ex+cos(z)

f(y)= 2y

f(z)= cos(1)*ex; -sin(1)*ex+cos(z)

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Problem/Ansatz:

f(x)=sin (z)*ex ; -sin(z)*ex+cos(z)

f(y)= 2y

f(z)= cos(1)*ex; -sin(1)*ex+cos(z)

Es ist leider unklar, was du damit sagen willst.

Berechne jeweils die Ableitung nach xx, yy und zz. Für die Ableitungen nach xx ergeben sich bspw:

(0sin(z)exex+cos(z))\begin{pmatrix} 0\\ \sin(z)\mathrm{e}^x\\ \mathrm{e}^{x+\cos(z)}\end{pmatrix}

Das liefert dir die erste Spalte der Jacobi-Matrix.

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Aloha :)

Du möchtest / sollst von der Funktionf(x;y;z)=(f1(x;y;z)f2(x;y;z)f3(x;y;z))=(y2zsin(z)exex+cos(z))f(x;y;z)=\begin{pmatrix}f_1(x;y;z)\\f_2(x;y;z)\\f_3(x;y;z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}y^2-z\\\sin(z)e^x\\e^{x+\cos(z)}\end{pmatrix}die Funktionalmatrix Jf(x;y;z)J_f(x;y;z) bestimmen. Diese Matrix enthält die Gradienten der Komponenten-Funktionen als Zeilenvektoren:Jf(x;y;z)=(gradf1(x;y;z)gradf2(x;y;z)gradf3(x;y;z))J_f(x;y;z)=\begin{pmatrix}\operatorname{grad}f_1(x;y;z)\\\operatorname{grad}f_2(x;y;z)\\\operatorname{grad}f_3(x;y;z)\end{pmatrix}

Du berechnest also:gradf1(x;y;z)=(x(y2z)y(y2z)z(y2z))=(02y1)\operatorname{grad}f_1(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}(y^2-z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}(y^2-z)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}(y^2-z)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\2y\\-1\end{pmatrix}gradf2(x;y;z)=(x(sin(z)ex)y(sin(z)ex)z(sin(z)ex))=(sin(z)ex0cos(z)ex)\operatorname{grad}f_2(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\left(\sin(z)e^x\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(\sin(z)e^x\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\left(\sin(z)e^x\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\sin(z)e^x\\0\\\cos(z)e^x\end{pmatrix}gradf3(x;y;z)=(x(ex+cos(z))y(ex+cos(z))z(ex+cos(z)))=((ex+cos(z))10(ex+cos(z))(sin(z)))\operatorname{grad}f_3(x;y;z)=\begin{pmatrix}\frac{\partial}{\partial x}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial y}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\\[1ex]\frac{\partial}{\partial z}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\left(e^{x+\cos(z)}\right)\cdot1\\0\\\left(e^{x+\cos(z)}\right)\cdot(-\sin(z))\end{pmatrix}[Beim letzten Gradienten kam die Kettenregel zum Einsatz.]

Nun schreibst du die Gradienten als Zeilenvektoren in eine Matrix:Jf(x;y;z)=(02y1sin(z)ex0cos(z)exex+cos(z)0sin(z)ex+cos(z))J_f(x;y;z)=\left(\begin{array}{c}0 & 2y & -1\\[1ex]\sin(z)e^x & 0 & \cos(z)e^x\\[1ex]e^{x+\cos(z)} & 0 & -\sin(z)e^{x+\cos(z)}\end{array}\right)

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