Question

Berechnen Sie das Integral mit der inversen Substitution:
$\int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^2} \, dt$

$t = sin(y)$, gesetzt und $dt = -cos(y)dy$ erhalten. Danach habe ich die Grenzen des Integrals als $pi/2$, und 0, festgelegt, aber bin ich auf dem richtigen Weg und wie sollte es weitergehen, bin mir nicht sicher. Können Sie mir helfen?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$I=\int\limits_0^1\sqrt{1-t^2}\,dt=\,?$$

Die Substitution liefert das Differential $dt$:$$t\coloneqq\sin(y)\implies\frac{dt}{dy}=\cos(y)\implies dt=\cos(y)\,dy$$Die Umkehrfunktion der Substitution liefert die neuen Integrationsgrenzen:$$y=\arcsin(t)\implies y(0)=\arcsin(0)=0\;;\;y(1)=\arcsin(1)=\frac\pi2$$

Damit können wir von der Integrationsvariablen $t$ zu $y$ wechseln:$$I=\int\limits_{y(0)=0}^{y(1)=\pi/2}\underbrace{\sqrt{1-\sin^2(y)}}_{=\cos(y)}\,\underbrace{\cos(y)\,dy}_{=dt}=\int\limits_0^{\pi/2}\cos^2(y)\,dy$$$$\phantom I=\int\limits_0^{\pi/2}\left(\frac12+\frac12\cos(2y)\right)dy=\left[\frac y2+\frac14\sin(2y)\right]_0^{\pi/2}=\frac\pi4$$

Comments

Danke sehr !