Aufgabe:
Matrix A sei wie folgt gegeben: \( A=\left(\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 2\end{array}\right) \). Finde eine Orthonormalbasis \( \mathcal{B}:=\left\{b_{1}, b_{2}\right\} \) von \( \mathbb{R}^{2} \) bezüglich der durch \( A \) definiertea Bilinearform \( X^{t} A Y \). Die gesuchte Basis muss \( b_{i}^{t} A b_{j}=\delta_{i j} \) erfüllen.
Problem/Ansatz:
Eigenwert von A : a3= 1, a2= 1. Dementsprechende Eigenvektoren: v1= (1,1), v2= (-1,1). Orthonormalbasis:
\( \begin{array}{l}b1=\frac{v_{1}}{\left\|v_{1}\right\|}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{l}1 \\ 1\end{array}\right) \text { und } b2=\frac{v_{2}}{\left\|v_{2}\right\|}= \\ \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}-1 \\ 1\end{array}\right) .\end{array} \)
Danke!
