Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten

Question

Aufgabe: Sei ℚ⁴ als ℚ-Vektorraum zu betrachten und sei W der ℚ-Untervektorraum von ℚ⁴ definiert durch

W=Span_ℚ({(1,-1,1,-1),(1,1,1,1)}). Betrachten Sie die Kongruenzklasse modulo W [(1,2,4,3)] ∈ ℚ⁴/W, sodass [(1,2,4,3)] gleich dem affinen Unterraum (1,2,4,3)+W von ℚ⁴ ist.

Bestimmen Sie ein lineares Gleichungssystem in den Unbekannten (x₁,x₂,x₃,x₄), dessen Lösungsmenge gleich [(1,2,4,3)] ist.

Comments

Hallo,

wenn das gesuchte Gleichungssystem Ax=y die gewünschte Eigenschaft haben soll, dann muss der Unterraum W der Kern von A sein - das legt A (im Prinzip) fest. Die Matrix A hat 2 linear unabhängige Zeilen, wagen wir \(a_1^T,a_2^T\) und es muss für die W aufspannenden Vektoren \(w_1,w_2\) gelten: \(a_i^Tw_j=0\). Fazit: Du musst den Kern folgender Matrix bestimmen:

$$\begin{pmatrix}1 & -1 & 1& -1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

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Ich erhalte für den Kern nach den Umformungen die Matrix \( \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \) und für x1=0 und x2=0. Was bedeutet das?

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Was meinst Du genau? Der Kern einer Matrix besteht aus Vektoren?

Answer 1

Ein solches Gleichungssystem ist

$$\begin{pmatrix} -1&0&1&0\\0&-1&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3\\1 \end{pmatrix}$$