Um einen Flächeninhalt zu berechnen, muss du die Einsfunktion (f(x)=1) über den gewünschten Bereich integrieren.
Gesucht ist also
$$ A = \int _ { \phi _{-} } ^ { \phi _{+} } \int _ { \psi _ { - } } ^ { \psi _ { + } } d x d y $$
Was du jetzt finden musst, sind die Integrationsgrenzen Φ± und ψ±, die im Allgemeinen Funktionen der jeweils anderen Variablen sein können. Dafür ist es hilfreich, sich eine Zeichnung anzufertigen:
In y stellt das ganze einen sogenannten "Normalbereich" mit geraden Begrenzungslinien dar - es macht daher Sinn, erst nach x zu Integrieren und danach nach y, da die Grenzen der y-Integration unabhängig von x sind. (Nämlich -1 und 0.)
Die Grenzen sind dann:
ψ- = -1, ψ+ = 0
Φ- = 1+y, Φ+ = ey
Es folgt das zu lösende Integral:
$$ \int _ { - 1 } ^ { 0 } d y \left[ \int _ { y + 1 } ^ { e ^ { y } } d x \right] = \int _ { - 1 } ^ { 0 } \left( e ^ { y } - ( y + 1 ) \right) d y = \left[ e ^ { y } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } - y \right] _ { - 1 } ^ { 0 } = 1 - \left( e ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } + 1 \right) = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { e } $$
