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ich stehe bei folgender Aufgabe voll auf dem Schlauch.

Berechnen Sie mit Hilfe des Doppelintegrals den Flächeninhalt des Bereiches, der von den folgenden Kurven begrenzt wird:   y=lnx ;   x-y=1 ;    y=-1.

Ich hoffe mir kann jemand weiter helfen.

von

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Um einen Flächeninhalt zu berechnen, muss du die Einsfunktion (f(x)=1) über den gewünschten Bereich integrieren.

Gesucht ist also

$$ A = \int _ { \phi _{-} } ^ { \phi _{+} } \int _ { \psi _ { - } } ^ { \psi _ { + } } d x d y $$

Was du jetzt finden musst, sind die Integrationsgrenzen Φ± und ψ±, die im Allgemeinen Funktionen der jeweils anderen Variablen sein können. Dafür ist es hilfreich, sich eine Zeichnung anzufertigen:


In y stellt das ganze einen sogenannten "Normalbereich" mit geraden Begrenzungslinien dar - es macht daher Sinn, erst nach x zu Integrieren und danach nach y, da die Grenzen der y-Integration unabhängig von x sind. (Nämlich -1 und 0.)

Die Grenzen sind dann:

ψ- = -1, ψ+ = 0

Φ- = 1+y, Φ+ = ey

Es folgt das zu lösende Integral:

$$ \int _ { - 1 } ^ { 0 } d y \left[ \int _ { y + 1 } ^ { e ^ { y } } d x \right] = \int _ { - 1 } ^ { 0 } \left( e ^ { y } - ( y + 1 ) \right) d y = \left[ e ^ { y } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } - y \right] _ { - 1 } ^ { 0 } = 1 - \left( e ^ { - 1 } - \frac { 1 } { 2 } + 1 \right) = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 1 } { e } $$

von 10 k

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